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历一
后世法胜于古，而屡改益密者，惟历为最著。唐志谓天为动物，久则差忒，不得不屡变其法以求之。此说似矣，而不然也。易曰：“天地之道，贞观者也。”盖天行至健，确然有常，本无古今之异。其岁差盈缩迟疾诸行，古无今有者，因其数甚微，积久始著。古人不觉，而后人知之，而非天行之忒也。使天果久动而差忒，则必差参凌替而无典耍，安从修改而使之益密哉？观传志所书，岁失其次、日度失行之事，不见于近代，亦可见矣。夫天之行度多端，而人之智力有限，持寻尺之仪表，仰测穹苍，安能洞悉无遗。惟合古今人心思，踵事增修，庶几符合。故不能为一成不易之法也。
黄帝迄秦，历凡六改。汉凡四改。魏迄隋，十五改。唐迄五代，十五改。宋十七改。金迄元，五改。惟明之大统历，实即元之授时，承用二百七十馀年，未尝改宪。成化以后，交食往往不验，议改历者纷纷。如俞正己、冷守中不知妄作者无论已，而华湘、周濂、李之藻、刑云路之伦颇有所见。郑世子载堉撰律历融通，进圣寿万年历，其说本之南部御史何瑭，深得授时之意，而能补其不逮。台官泥于旧闻，当事惮于改作，并格而不行。崇祯中，议用西洋新法，命阁臣徐光启、光禄卿李天经先后董其事，成历书一百三十馀卷，多发古人所未发。时布衣魏文魁上疏排之，诏立两局推验。累年校测，新法独密，然亦未及颁行。由是观之，历固未有行之久而差者，乌可不随时修改，以求合天哉。
今采各家论说，有裨于历法者，著于篇端。而大统历则述立法之原，以补元志之未备。回回历始终隶于钦天监，与大统参用，亦附录焉。
历法沿革
吴元年十一月乙未冬至，太史院使刘基率其属高翼上戊申大统历。太祖谕曰：“古者季冬颁历，太迟。今于冬至，亦未善。宜以十月朔，著为令。”洪武元年改院为司天监，又置回回司天监。诏徵元太史院使张佑、回回司天太监黑的儿等共十四人，寻召回回司天台官郑阿里等十一有至京，议历法。三年改监为钦天，设四科：曰天文，曰漏刻，曰大统历，曰回回历。以监令、少监统之。岁造大统民历、御览月令历、七政躔度历、六壬遁甲历、四季天象占验历、御览天象录，各以时上。其日月交食分秒时刻、起复方位，先期以闻。十年三月，帝与群臣论天与七政之行，皆以蔡氏旋之说对。帝曰：“朕自起以来，仰观乾象，天左旋，七政右旋，历家之论，确然不易。尔等犹守蔡氏之说，岂所谓格物致知学乎？”十五年九月，诏翰林李翀、吴伯宗译回回历书。
十七年闰十月，漏刻博士元统言：“历以大统为名，而积分犹踵授时之数，非所以重始敬正也。况授时以元辛巳为历元，至洪武甲子积一百四年，年远数盈，渐差天度，合修改。七政运行不齐，其理深奥。闻有郭伯玉者，精明九数之理，宜徵令推算，以成一代之制。”报可。擢统为监令。统乃取授时历，去其岁实消长之说，析其条例，得四卷，以洪武十七年甲子为历元，命曰大统历法通轨。二十二年改监令、丞为监正、副。二十六年，监副李德芳言：“监正统孜作洪武甲子历元，不用消长之法，以考鲁献公十五年戊寅岁天正冬至，比辛巳为元，差四日半强。今当复用辛巳为元及消长之法。”疏入，元统奏辨。太祖曰：“二说皆难凭，但验七政交会行度无差者为是。”自是大统历元以洪武甲子，而推算仍依授时法。三十一年在罢回回钦天监，其回回历科仍旧。
永乐迁都顺天，仍用应天冬夏昼夜时刻，至正统十四年始改用顺天之数。其冬，景帝即位，天文生马轼奏，昼夜时刻不宜改。下廷臣集议。监正许惇等言：“前监正彭德清测验得北京北极出地四十度，比南京高七度有奇，冬至昼三十八刻，夏至昼六十二刻。奏准改入大历，永为定式。轼言诞妄，不足听。”帝曰：“太阳出入度数，当用四方之中。今京师在尧幽都之地，宁可为准。此后造历，仍用洪、永旧制。”
景泰元年正月辛卯，卯正三刻月食。监官误推辰初初刻，致失救护。下法司，论徒。诏宥之。成化十年，以监官多不职，擢云南提学童轩为太常寺少卿，掌监事。十五年十一月戊戍望，月食，监推又误，帝以天象微渺，不之罪也。十七年，真定教论俞正己上改历议，诏礼部及轩参考。尚书周洪谟等言：“正己止据皇极经世书及历代天文、历志推算气朔，又以己意创为八十七年约法，每月大小相间。轻率狂妄，宜正其罪。”遂下正己诏狱。十九年，天文生张升上言改历。钦天监谓祖制不可变，升说遂寝。弘治中，月食屡不应，日食亦舛。
正德十二、三年，连推日食起复，皆弗合。于是漏刻博士朱裕上言：“至元辛巳距今二百三十七年，岁久不能无差，若不量加损益，恐愈久愈舛。乞简大臣总理其事，令本监官生半推古法，半推新法，两相交验，回回科推验西域九执历法。仍遣官至各省，候土圭以测节气早晚。往复参较，则交食可正，而七政可齐。”部覆言：“裕及监官历学未必皆精，今十月望月食，中官正周濂等所推算，与古法及裕所奏不同，请至期考验。”既而濂等言：“日躔岁退之差一分五十秒。今正德乙亥，距至元辛巳二百三十五年，赤道岁差，当退天三度五十二分五十秒。不经改正，推步岂能有合。臣参较德验，得正德丙子岁前天正冬至气应二十七日四百七十五分，命得辛卯日丑初初刻，日躔赤道箕宿六度四十七五十秒，黄道箕宿五度九十六分四十三秒为历元。其气闰转交四应，并周天黄赤道，诸类立成，悉从岁差，随时改正。望敕礼臣并监正董其事。”部奏：“古法未可轻变，请仍旧法。别选精通历学者，同濂等以新法参验，更为奏请。”从之。
十五年，礼部员外郎郑善夫言：“日月交食，日食最为难测。盖月食分数，但论距交远近，别无四时加减，且月小暗虚大，八方所见皆同。若日为月所掩，则日大而月小，日上而月下，日远而月近。日行有四时之异，月行有九道之分。故南北殊观，时刻亦异。必须据地定表，因时求合。如正德九年八月辛卯日食，历官报食八分六十七秒，而闽、广之地，遂至食既。时刻分秒，安得而同？今宜按交食以更历元，时刻分秒，必使奇零剖析详尽。不然，积以岁月，躔离朓朒，又不合矣。”不报。十六年以南京户科给事中乐頀、工部主事华湘通历法，俱擢光禄少卿，管监事。
嘉靖二年，湘言：“古今善治历者三家，汉太初以钟律，唐大衍以蓍策，元授时以晷景为近。欲正历而不登台测景，皆空言臆见也。望许臣暂朝参，督中官正周濂等，及冬至前诣观象台，昼夜推测，日记月书，至来年冬至，以验二十四气、分至合朔、日躔月离、黄赤二道、昏旦中星、七政四余之度，视元辛巳所测，离合何如，差次录闻。更敕礼部延访精通理数者徵赴京师，令详定岁差，以成一代之制。”下礼部集议，而护谓历不可改，与湘颇异。礼部言：“湘欲自行测候，不为无识。请二臣各尽所见，穷极异同，以协天道。”从之。
七年，钦天监奏：“闰十月朔，回回历推日食二分四十七秒，大统历推不食。”已而不食。十九年三月癸巳朔，台官言日当食，已而不食。帝喜，以为天眷，然实由推步之疏也。隆庆三年，掌监事顺天府丞周相刊大统历法，其历原历叙古今诸历异同。万历十二年十一有癸酉朔大统历推日食九十二秒，回回历推不食，已而回回历验。礼科给事中侯先春因言：“迩年月食在酉而曰戌，月食将既而曰未九分，差舛甚矣。回回历科推算日月交食，五星凌犯，最为精密，何妨纂人大统历中，以备考验。”诏可。二十年五月戌夜月食，监官推算差一日。
二十三年，郑世子载堉进圣寿万年历、律历融通二书。疏略曰：“高皇帝革命时，元历未久，气朔未差，故不改作，但讨论润色而已。积年既久，气朔渐差。后汉志言‘三百年斗历改宪’。今以万历为元，而九年辛巳岁适当‘斗历改宪’之期，又协‘乾元用九’之义，历元正在是矣。臣尝取大统与授时二历较之，考古则气差三日，推今则时差九刻。夫差虽九刻，处夜半之际，所差便隔一日。节气差天一日，则置闰差一月。闰差一月，则时差一季。时差一季，则岁差一年。其失岂小小哉？盖因授时减分太峻，失之先天；大统不减，失之后天。因和会两家，酌取中数，立为新率，编撰成书，大旨出于许衡，而与历不同。黄钟乃律历本原，而旧历罕言之。新法则以步律吕爻象为首。尧时冬至日躔宿次，何承天推在须、女十度左右，一行推在女、虚间，元人历议亦云在女、虚之交。而授时历考之，乃在牛宿二度。大统历考之，乃在危宿一度。相差二十六度，皆不与尧典合。新法上考尧元年甲辰岁，夏至午中，日在柳宿十二度左右，冬至午中，日在女宿十度左右，心昴昏中，各去午正不逾半次，与承天、一行二家之说合。此皆与旧历不同大者，其余详见历议。望敕大臣名儒参订采用。”
其法首曰步发敛。取嘉靖甲寅岁为历元，元纪四千五百六十，期实千四百六十一，节气岁差一秒七十五忽，岁周气策无定率，各随岁差求而用之。律应(即气应)五十五日六十刻八十九分，律总旬周六十日。次曰步朔闰。朔望弦策与授时同，闰应十九日三十六刻十九分。次曰步日躔。日平行一度，躔周(即天周)三百六十五度二十五分，躔中半之，象策又半之，辰策十二分躔周之一。黄、赤道岁差，盈初缩末限，缩初盈末限，俱与授时同，周应二百三十八度二十二分三十九秒。(按授时求日度法，以周应加积度，命起虚七，其周应为自虚七度至箕寸十度之数。万年历法以周应减积度，命起角初，其周应为箕十度至角初度之数，当为二百八十六度四十五分。今数不合，似误。)次曰步晷漏。北极出地度分，冬、夏至中晷恒数，并二至昼夜长短刻数，俱以京师为准。参以岳台，以见随处里差之数。次曰步月离。月平行、转周、转中，与授时同。离周(即迟疾限)三百三十六限十六分六十秒，离中半之，离象又半之。转差一日九十刻六十分。转应七日五十刻三十四分。次曰步交道。正交、中交与授时同。距交十四度六十六分六十六秒。交周、交中、交差，与授时同。交应二十日四十七刻三十四分。次曰步交食。日食交外限六度，定法六十一，交内限八度定法八十一。月食限定法与授时同。次曰步五纬。合应：土星二百六十二日三千二十六分，木星三百一十一千八百三十七分，火星三百四十三日五千一百七十六分，金星二百三十八千三百四十七分，水星九十一日七千六百二十八分。历应：土星八千六百四日五千三百三十八分，木星四千一十八日六千七十三分，火星三百一十四日四十九分，金星六十日一千九百七十五分，水星二百五十三日七千四百九十七分。周率、度率及晨夕伏见度，俱与授时同。
其议岁余也，曰：“阴阳消长之理，以渐而积，未有不从秒起。授时考古，于百年之际顿加一分，于理未安。假如鲁隐公三年酉岁，下距至元辛巳二千年，以授时本法算之，于岁实当加二十分，得庚午日六刻，为其年天正冬至。次年壬戌岁，下距至元辛巳一千九百九十年，本法当加十九分，得乙亥日五十刻四十四分，为其年天正冬至。两冬至相减，得相距三百六十五日四十四刻四十四分，则是岁余九分日之四，非四分日之一也。历法之廖，莫甚于此。新法酌量，设若每年增损二秒，推而上之，则失昭公己丑；增损一秒至一秒半，则失僖公辛亥。今约取中数，其法置定距自相乘，七因八归，所得百，约之为分，得一秒七十五忽，则辛亥、己丑皆得矣。”
其议日躔也，曰：“古历见于六经，灼然可考者莫如日躔及中星。而推步家鲜有达者，盖由不知夏时、周正之异也。大抵夏历以节气为主，周历以中气为主。何承天以正月甲子夜半合朔雨水为上元，进乖夏朔，退非周正。故近代推月令、小正者、皆不与古合。尝以新法岁差，上考尧典中星，则所谓四仲月，盖自节气之始至于中气之终，三十日内之中星耳后世执者于二分二至，是亦误矣。”
其议侯极也，曰：“自汉至齐、梁，皆谓纽星即不动处。惟祖恒之测知纽星去极一度有余。自唐至宋，又测纽星去极三度有余。元志从三度，盖未有说也。新法不测纽星，以日景验之，于正方案上，周天度内权指一度为北极，自此度右旋，数至六十七度四十一分，为夏至日躔所在。复至一百一十五度二十一分，为冬至日躔所在。左旋，数亦如之。四处并中心五处，各识一针。于二至日午中，将案直立向南取景，使三针景合，然后县绳界取中绵，又取方十字界之，视横界上距极出地度分也，即极出地度分也。”
其议晷景也，曰：“何承天立表测景，始知自汉以来，冬至皆后天三日。然则推步晷景，乃治历之耍也。授时历亦凭晷景为本，而历经不载推步晷景之术，是为缺略，今用北极出地度数，兼弧矢二术以求之，庶尽其原。又随地形高下，立差以尽变，前此所未有也。”又曰：“授时历议据前汉志鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，引用为首。夫献公十五年下距隐公元年己未，岁百六十一年，其非春秋时明矣。而元志乃云‘自春秋献公以来’，又云‘昭公冬至，乃日度失行之验’，误矣。夫献公甲寅冬至，别无所据，惟刘歆三统历言之。岂左传不足信，而歆乃可信乎？太初元年冬至在辛酉，歆乃以为甲子，差天三日，尚不能知，而能逆知上下数百年乎？故凡春秋前后千载之间，气朔交食，长历、大衍所推近是，刘歆、班固所说全非也。”又曰：“大衍历议谓宋元嘉十三年一月甲戌，景长为日度变行，授时历议亦云，窃以为过矣。苟日度失行，当如岁差，渐渐而移。今岁既已不合，来岁岂能复合耶？盖前人所测，或未密耳。夫冬至之景一丈有余，表高晷长，则景虚而淡，或设望筒、副表、景符之类以求实景。然望筒或一低昂，副表、景符或一前却，所据之表或稍有倾欹，圭面或稍有斜侧，二至前后数日之景，进退只在毫厘之间，耍亦难辨。况委托之人，未智当否。九服之远，既非自挚，所报晷景，宁足信乎？”
其议漏刻也，曰：“日月带食出入，五星晨昏伏见，历家设法悉因晷漏为准。而晷漏则随地势南北，辰极高下为异焉。元人都燕，其授时历七曜出没之早晏，四时昼夜之永短，皆准大都晷漏。国初都金陵，大统历晷漏改徒南京，冬夏至相差三刻有奇。今推交食分秒，南北东西等差及五星定伏定见，皆因元人旧法，而独改其漏刻，是以互神舛误也。故新法晷漏，照依元旧。”
其议日食也，曰：“日道与月道相交处有二，若正会于交，则食既，若但在交前后相近者，则食而不既。此天之交限也。又有人之交限，假令中国食既，戴日之下，所亏才半，化外之地，则交而不食。易地反观，亦如之。何则？日如大赤丸，月如小黑丸，共县一绵，日上而下，即其下正望之，黑丸必掩赤丸，似食之既；及旁观有远近之差，则食数有多寡矣。春分已后，日行赤道北畔，交外偏多，交内偏少。秋分已后，日行赤道南畔，交外偏少，交内偏多。是故有南北差。冬至已后，日行黄道东畔，午前偏多，午后偏少。夏至已后，日行黄道西畔，午前偏少，午后偏多。是故有东西差。日中仰视则高，旦暮平视则低。是有距午差。食于中前见早，食于中后见迟。是故有时差，凡此诸差，唯日有之，月则无也。故推交食，惟日颇难。欲推九服之变，必各据其处，考晷景之短长，揆辰极之高下，庶几得之。历经推定之数，徒以燕都所见者言之耳。旧云：‘月行内道，食多有验。月行外道，食多不验。’又云：‘天之交限，虽系内道，若在人之交限之外，类同外道，日亦不食。’此说似矣，而未尽也。假若夏到前后，日食于寅卯酉戌之间，人向东北、西北观之，则外道食分反多于内道矣。日体大于月，月不能尽掩之，或遇食既，而日光四溢，形如金环，故日无食十分之理。虽既，亦止九分八十秒。授时历日食，阳历限六度，定法六十，阴历限八度，定法八十。各置其限度，如其定法而一，皆得十分。今于其定法下，各加一数以除限度，则得九分八十余秒也。”
其议月食也，曰：“暗虚者，景也。景之蔽月，无早晚高卑之异，四时九服其之殊。譬如县一黑丸于暗室，其左燃烛，其右县一白丸，若烛光为黑丸所蔽，则白丸不受其光矣。人在四旁观之，所见无不同也。故月食无时差之说。自纪元历妄立时差，授时因之，误矣。”
其议五纬也，曰：“古法推步五纬，不如变数之加减。北齐张子信仰观岁久，知五纬有盈缩之变，当加减以求逐日之躔。盖五纬出入黄道内外，各自有其道，视日远近为迟疾，其变数之加减，如里路之径直斜曲也。宋人有言曰：‘五星行度，惟留退之际最多差。自内而进者，其退必向外，自外而进者，其退必由内。其迹台循柳叶，两末锐于中间，往还之道相去甚远。故星行两末度稍迟，以其斜行故也。中间行度稍速，以其径捷故也。’前代修历，止增损旧法而已，未尝实考天度。其法须测验每夜昏晓夜半，月及五星所在度秒，置簿录之。满五年，其间去阴云昼见日数外，可行三年实行，然后可以算术缀之也。”
书上，礼部尚范谦奏：“岁差之法，自虞喜以来，代有差法之议，竟无昼一之规。所以求之者，大约有三：考月令之中星，测二至之日景，验交食之分秒。考以衡管，测以臬表，验以漏刻，斯亦危得之矣。历家以周天三百六十五度四分度之一，纪七政之行，又析度为百分，分为百秒，可谓密矣。然浑象之体，径仅数尺，布周天度，每度不及指许，安所置分秒哉？至于臬表之树不过数尺，刻漏之筹不越数寸。以天之高且广也，而以寸之物求之，欲其纤微不爽，不亦难乎？故方其差在公秒之间，无可验者，至蹬逾一度，乃可以管窥耳。此所以穷古今之智七巧，不能尽其变欤？即如世子言，以大统、授时二历相较，考古则气差三日，推今则时差必刻。夫时差九刻，在亥子之间则移一日，在晦朔之交则移一月，此可验之于近也。设移而前，则生明在二日之昏，设移而后，则生明在四日之夕矣。今似未至此也。其书应发钦天监参订测验。世子留心历学，博通今古，宜赐奖谕。”从之。
河南佥事刑云路上书言：“治历之耍治历之耍，无逾观象、测景、候时、筹策四事。今丙申年日至，臣测得乙未日未正一刻，而大统推在申正二刻，相差九刻。且今年立春、夏至、立冬皆适直子半之交。臣推立春乙亥，而大统推丙子；夏至壬辰，而大统推癸巳；立冬巳酉，而大统推庚戌。相隔皆一日。若或直元日于子半，则当退履端于月穷，而朝贺大礼在月正二日矣。岂细故耶？闰八月朔，日食，大统推初亏巳正二刻，食几既，而臣候初亏巳正一刻，食止七分余。大统实后天几二刻，则闰应及转应、交应，各宜增损之矣。”钦天监见云路疏，甚恶之。监正张应候奏诋，谓其僣妄惑世。礼部尚书范谦乃言：“历为国家大事，士夫所当讲求，非历士之所得私。律例所禁，乃妄言妖祥者耳。监官拘守成法，不能修改合天。幸有其人，所当和衷共事，不宜妒忌。乞以云路提叔钦天监事，督率官属，精心测候，以成钜典。”议上，不报。
三十八年，监推十一月壬寅朔日食分秒及亏圆之候，职方郎范守己疏驳其误。礼官因请博求知历学者，令与监官昼夜推测，庶几历法靡差。于是五官正周子愚言：“大西洋归化远臣庞迪峨、熊三拨等，携有彼国历法，多中国典籍所未备者。乞视洪中译西域历法例，取知历儒臣率同监官，将诸书尽译，以补典籍之缺。”先是，大西洋人利玛窦进贡土物，而迪峨、三拨及能华同、邓玉函、汤若望等先后至，俱精究天文历法。礼部因奏：“精通历法，如云路、守己为时所推，请改授京卿，共理历事。翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻亦皆精心历理，可与迪峨、三拨等同译西洋法，俾云路等参订修改。然历法疏密，莫显于交食，欲议修历，必重测验。乞敕所司修治仪器，以便从事。”疏入，留中。未几云路、之藻皆召至京，参预历事。云路据其所学，之藻则以西法为宗。
四十一年，之藻已改衔南京太仆少卿，奏上西洋历法，略言台监推算日月交食时刻亏分之谬。而力荐迪峨、三拨及华民、阳玛诺等，言：“其所论天文历数，有中国昔贤所未及者，不徒论其数，又能明其所以然之理。其所制窥天、窥日之器，种种精绝。今迪峨等年龄向衰，乞敕礼部开局，取其历法，译出成书。”礼科姚永济亦以为言。时庶务因循，未暇开局也。
四十四年，云路献七政真数，言：“步历之法，必以两交相对。两交正，而中间时刻分秒之度数，一一可按。日月之交食，五星之凌犯，皆日月五星之相交也。两交相对，互相发明，七政之能事毕矣。”天启元年春，云路复详述古今时刻，与钦天监所推互异。症新法至密，章下礼部。四月壬申朔日食，云路所推食分时刻，与钦天监所推互异。自言新法至密，至期考验，皆与天下不合。云路又尝论大统宫度交界，当以岁差考定，不当仍用授时三百年前所测之数。又月建月关半杓所指，斗杓有岁差，而月建无改移。皆笃论也。
崇祯二年五月乙酉朔日食，礼部侍郎徐光启依西法预推，顺天府见食二分有奇，琼州食既，大宁以北不食。大统、回回所推，顺天食分时刻，与光启妻异。已而光启法验，余皆疏。帝切责监官。时五官正戈丰年等言：“大统乃国初所定，寮即郭守敬授时历也，二百六十年毫未增损。自至元十八年造历，越十八年为大德三年八月，已当食不食，六年六月又食而失推。是时守敬方知院事，亦付之无可奈佑，况斤斤守法者哉？今若循旧，向后不能无差。”于是礼部奏开局修改。乃以光启督修历法。光启言：近世言历诸家，大都宗郭守敬法，至若岁差环转，岁实参差，天有纬度，地有经度，列宿有本行，月五星有本轮，日月有真会、视会，皆古所未闻，惟西历有之。而舍此数法，则交食凌犯，终无密合理。宜取其法参互考订，使与大统法会同归一。”
已而光启上历法修正十事：其一，议岁差，每岁东行渐长短之数，以正古来百年、五十年、六十年多寡互异之说。其二，议岁实小余，昔多今少，渐次改易，及日景长短岁岁不同之因，以定冬至，以正气明朔。其三，每日测验日行经度，以定盈缩加减真率，东西南北高下之差，以步月离。其四，夜测月行经纬度数，以定交转迟疾真率，东西北高下之差，以步月离。其五，密测列宿以纬行度，以定七政盈缩、迟疾、顺逆、违离、远近之数。其六，密测五星经纬行度，以定小轮行度迟疾、留逆、伏见之数，东西南北高下之差，以推步凌犯。其七，推变黄道、赤道广狭度数，密测二道距度，及月五星各道与黄道相距之度，以定交转。其八，议日月去交远近及真会、视会之因，以定距午时差之真率，以正交食。其九，测日行，考知二极出入地度数，以定周天纬度，以齐七政。因月食考知东西相距地轮经度，以定交食时刻。其十，依唐、元法，随地测验二极出入地度数，地轮经纬，以求昼夜晨昏永短，以正交食有无、先后、多寡之数。因举南京太仆少卿李之藻、西洋人能华民、邓玉涵。报可。九月癸卯开历局。三年，玉函卒，又徵西洋人汤若望、罗雅谷译书演算。光启进本部尚书，仍督修历法。
时巡按四御史马如蚊荐资县诸生冷守中精历学以所呈历书送局。光启力驳其谬，并预推次年四月川食时刻，令其临时比测。四年正月，光启进历书二十四卷。夏四月戊午，夜望月食，光启预推分秒时刻方位。奏言：“日食随地不同，则用地纬度算其食分多少，用地经度算其加时早晏。月食分秒，海内并同，止用地经度推求先后时刻。臣从舆地图约略推步，开载各布政司月食初亏度分，盖食分多少既天下皆同，则余率可以类推，不若日食之经纬各殊，心须详备也。又月体一十五分，则尽入暗虚亦十五分止耳。今推二十六分六十六十秒者，盖暗虚体大于月，若食时去交稍远，即月体不能全入暗虚，止从月体论其分数。是夕之食，极近于交，故月入暗虚十五分方为食既，更进一十一分有奇，乃得生光，故为二十六分有奇。如回回历推十八分四十七秒，略同此法也。”已四川报次序守中所推月食实差二时，而新法密合。
光启又进历书二十一卷。冬十月辛丑朔日食，新法预顺天见食二分一十二秒，应天以南下食，大汉以北食既，例以京师见食不及三分，不救护。光启言：
月食在夜，加时早晚，若无定据。惟日食按晷定时，无可迁就。故历法疏密，此为的症。臣等纂辑新法，渐次就绪，而向生交食为期尚远，此时不与监臣共见，至成历后，将何徵信？且是食之必当测俟，更有说焉。
旧法食在正中，则无时差。今此食既在日中，而新法仍有时差者，盖以七政运行皆依黄道，不由赤道。旧法所谓中乃道之午中，非黄道之正中也。黄赤道二道之中，独冬夏至加时正午，乃得同度。今十月朔去冬至度数尚远，两中之差，二下三度有奇，岂可因加时近午，不加不减乎？适际此日，又值此时，足可验时差之正术，二也。
本方之地经度，未得真率，则加时难定，其法心从交食时测验数次，乃可较勘昼一。今此食依新术测候，其加时刻分，或后未合，当取从前所记地经度分，斟酌改定，此可以求里差之真率，二也。
时差一法，但知中无加减，而不知中分黄赤，今一经目见，人人知加时之因黄道，因此推彼，他术皆然，足以知学习之甚易，三也。
即分数甚少，宜详加测候，以求显验。帝是其言。至期，光启率监臣预点日晷，调壶漏，用测高仪器测食甚日晷高度。又于密室中斜开一隙，置窥筒、远镜以测亏圆，昼日体分板分数图板以定食分，其时刻、高度悉合，惟食甚分数未及二分。于是光启言：“今食甚之度分密合，则经度里差已无烦更定矣。独食分未合，原推者盖因太阳光大，能减月魄，必食及四五分以上，乃得与原推相合，然此测，用密室窥筒，故能得此分数，倘止凭目力，或水盆照映，则眩耀不定，恐少尚不止此也。”
时有满城布衣魏文魁，著历元、历测二书，令其子象乾进历元于朝，通政司送局考验。光启摘当极论者七事：其一，岁实自汉以来，代有减差，到授时减为二十四分二十五秒。依郭法百年消一，今当为二十一秒有奇。而历元用赵知微三十六秒，翻覆骤加。其一，弧背求弦矢，宜用密率。今历测中犹用径一围三之法，不合弧矢真数。其一，盈缩之限，不在冬夏至，宜在冬夏至后六度。今考日躔，春分迄夏至，夏至迄秋分，此两限中，日时刻分不等。又立春迄立夏，立秋迄立冬，此两限中，日时刻分亦不等。测量可见。其一，言太阴最高得疾，最低得迟，且以圭表测而得之，非也。太阴迟疾是入转内事，表测高下是入交内事，岂容混推。而月行转周之上，又复左旋，所以最高向西行极迟，最低向东行乃极疾，旧法正相反。其一，言日食正午无时差，非也。时差言距，非距赤道之午中，乃距黄道限东西各九十度之中也。黄道限之中，有距午前后二十余度者，但依午正加减，焉能必合。其一，言交食定限，阴历八度，阳历六度，非也。日食，阴历当十七度，阳历当八度。月食则阴阳历俱十二度。其一，历测云：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日食不尽如钩，昼星见。今以授时推之，止食六分九十六秒，郭历舛矣。”夫月食天下皆同，日食九服各异。南宋都于金陵，郭历造于燕地，北极出地差八度，时在十一月则食差当得二分弱，其云“不尽如钩”当在九分左右。郭历推得七分弱，乃密合，非舛也。本局今定日食分数，首言交，次言地，次言时，一不可阙。已而文魁反覆论难，光启更申前说，著为学历浊辨。
其论岁实小余及日食变差尤明晰。曰：“岁实小余，自汉迄元渐次消减。今新法定用岁实，更减于元。不知者必谓不惟先天，更先大统。乃以推壬申冬至，大统得已亥寅正一刻，而新法得辰初一刻十八分。何也？盖正岁年与步月离相似，冬至无定率，与定朔、定望无定率一也。朔望无定率，宜以平朔望加减之，冬至无定率，宜以平年加减之。故新法之平冬至，虽在大统前，而定冬至恒在大统后也。”又曰：“宋仁宗天圣二年甲子岁，五月丁亥朔，历官推当食不食，诸历推算皆云当食。夫于法则实当食，而于时则实不食。今当何以解之？盖日食有变差一法，月在阴历，距交十度强，于法当食。而独此日此之南北差，变为东西差，故论天行，则地心与日月相参直，实不失食。而从人目所见，则日月相距近变为远，实不得食。顾独汴京为然，若从汴以东数千里，则渐见食，至东北万余里外，则全见食也。夫变差时不同，或多变为少，或少变为多，或有变为无，或无变为有。推历之难，全在此等。”未几，光启入愉阁。
五年九月十五日，月食，监推初亏在卯初一刻，光启等推在卯初三刻，回回科推在辰初初刻。三法异同，致奉诘问。至期测候，阴云不见，无可徵验。光启具陈三法不同之故，言：
时刻之加减，由于盈缩、迟疾两差。而盈缩差，旧法起冬夏至，新法起最高，最高有行分，惟宋绍兴间与夏至同度。郭守敬后此百年，去离一度有奇，故未觉。今最高在夏至后六度。此两法之盈缩差所不同也。迟疾差，旧法只用一转周，新法谓之自行轮。自行之外，又有两次轮。此两法之迟疾差所以不同也。至于回回历又异者，或由于四应，或由于里差，臣实未晓其故。总之，三家俱依本法推步，不能变法迁就也。
将来有宜讲求者二端：一曰食分多寡。日食时，阳晶晃耀，每先食而后见。月食时，游气纷侵，每先见而后食。其差至一分以上。今欲灼见实分，有近造窥筒，日食时，于密室中取其光景，映照尺素之上，初亏至复圆。分数真确，书然不爽。月食用以仰观二体离合之际，鄞鄂著明。与目测迥异。此定分法也。一曰加时早晚。定时之术，壶漏为古法，轮钟为新法，然不若求端于日星，昼则用日，夜则任用一星。皆以仪器测取经纬度数，推算得之。此定时法也。二法既立，则诸术之疏密，毫末莫遁矣。
古今月食，诸史不载。日食，自汉至隋，凡二百九十三，而食于晦者七十七，晦前一日者三，初二日者三，其疏如此。唐至五代凡一百一十，而食于晦者一，初二日者一，初三日者一，稍密矣。宋凡一百四十八人，无晦食者，更密矣。犹有推食而不食者一。至加时差至四五刻者，当其时已然。可知高速无穷之事，必积时累世，仍稍见其端儿。故汉至今千七百岁，立法者十有三家，而守敬为最优，尚不能无刻之差，而况于沿习旧法者，何能现其精密哉？
是年，光启又进历书三千卷。明年冬十月，光启以病辞历务，以山东参政李天经代之。逾月而光启卒。七年，魏文魁上言，历官所推交食节气皆非是。于是命魁入京测验。是时言历者四家，大统、回回外、别立西洋为西局，文魁为炙局。言人人殊，纷若聚讼焉。
天经缮进历书凡二十九卷，并星屏一具，俱故辅光启督率西人所造也。天经预推五星凌犯会合行度，言：“闰八月二十四，木犯积履尸气。九月初四昏初，火土同度。初七卯正，金土同度。十一昏初，金火同度。旧法推火土同度，在初七，是后天三日。金火同度在初三，是先天八日。”而文魁则言，天经所报，木星犯积尸不合。天经又言：“臣于闰八月二十五日夜及九月初一日夜，同体臣陈六韦等，用窥管测，见积尸为数十小星围聚，木与积尸，共纳管中。盖窥圆径寸许，两星相距三十分内者，方得同见。如觜宿三星相距二十七分，则不能同见。而文魁但据臆算，未经实测。据云初二日木星已在柳前，则前此岂能越鬼宿而飞渡乎？”天经又推木星退行、顺行，两经鬼宿，其度分晷刻，已而皆验，于是文魁说绌。
天经又进历书三十二卷，并日晷、星晷、窥筒诸仪器。八年四月，又上乙亥丙子七政行度历及参订历法条议二十六则。
某七政公说之议七：一曰诸曜之应宜改。盖日月五星平行起算之根则为应，乃某曜某日某时躔某宫次之数。今新法改定诸应，悉从崇祯元年戊辰前，冬至后，己卯日子正为始。二曰测诸曜行度，应用黄道仪。盖太阳由黄道行，月星各有本道，出入黄道内外，不行赤道。若用赤道仪测之，所得经纬度分，须通以黄、赤通率表，不如用黄道仪，即得七政之本度为便也。三曰诸方七政行度，随地不等。盖日月东西见食，其时各有先后，既无庸疑矣。则太阳之躔二十四节气，与月五星之掩食凌犯，安得不与交食同一理乎？故新法水成诸表，虽以顺天府为主，而推算诸方行度亦皆各有本法。四曰诸曜加减分，用平、立、定三差法，尚不足。盖加减平行以求自行，乃历家耍务。第天实圆体，与平行异类，旧所用三差法，俱从句股平行定者，于天体未合。即扣盈缩损益之数，未得其真。今新法加减诸表，乃以圆齐圆，始可合天。五曰随时随地可求诸曜之经度。旧法欲得某日曜经度，必先推各曜冬至日所行宫度宿次，后乃以各段日度比算始得。今法不拘时日方所，只简本表推步即是。六曰径一围三，非弧矢真法。盖古历家以直绵测圆形，名曰弧矢法，而算用径一围三，廖也。今立割圆八绵表，其用简而大。弧矢等绵，但乘除一次，使能得之。七曰球上三角三弧形，非句股可尽。盖古法测天以句股为本，然句股能御直角，不能御斜角。且天为圆球，其面上与诸道相割生多三弧形，句股不足以尽之。
恒星之议四：一曰恒星本行，即所谓岁差，从黄道极起算。盖各星距赤极度分，古今不同。其距赤道内外地也，亦古今不同。而距黄极或距黄道内外，则皆终古如一，所以知日月五星俱依黄道行。其恒星本行，应从黄极起算，以为岁差之率。二曰古今各宿度不同。盖恒星以黄道极为极，故各宿距星行度，与赤道极时近时远。行渐近极，即赤道所出过距星绵渐密，其本宿赤道弧则较小。渐远极，即过距星绵渐疏，其本宿赤道弧则较大。此缘二道二极不同，非距星有异行，亦非距星有易位也。如觜宿距星，汉测距参二度，唐测一度，宋崇宁测半度，元郭守敬五分。今测之，不啻无分，且侵入参宿二十四分，非一症乎？三曰夜中测星定时。盖太阳依赤道左行，每十五度为一小时。今任测一星距子午圈前后度分，又以本星经行与太阳经行查加减，得太阳距子午圈度分，因以变为真时刻。四曰宋时所定十二宫次，在某宿度，今不能定于某宿度。盖因恒星有本行，宿度已右移故也。
太阳之议四：一太阳盈缩之限，非冬、夏二至，所谓最高及最高冲出也。此限年年右行，今已过二至后六度有奇。二曰以圭表测冬夏二至，非法之善。盖二至前后，太阳南北之行度甚微，计一丈之表，其一日之影差不过一分三十秒，则一秒得六刻有奇，若测差二三秒，即差几二十刻，安所得准乎？今法独用春、秋二分，盖以此时太阳一日南北行二十四分，一日之景差一寸二分，即测差一二秒，算不得满一刻，较二至为最密。三曰日出入分，应从顺天府起算。盖诸方北极出地不同，晨昏时刻亦因以异。大统依应天府算，上以昼夜长短，日月东刃西带食，所推不准。今依天罕改定。四曰平节气，非上天真节气。盖旧法气策，乃岁周二十四分之一。然太阳之行有盈有缩，不得平分。如以平分，则春分后天二日，秋分先天二日矣。今悉改定。
太阴之议四：一曰朔望之外，别有损益分，一加减不足以尽之。盖旧定太阴平行，算朔望加减，大率五度有奇，然两弦时多寡不一，即授时亦言朔望外，平行数不定，明其理未著其法。今于加减外，再用一加减，名为二三均数。二曰纬度不能定于五度，时多时寡。古今历家以交食分数及交泛等，测量定黄白二道相距约五度。然朔望外两道距度，有损有益，大距计五度三公度之一。若一月有两食，其弦时用仪求距黄道度五度，未能合天。三曰交行有损益分。盖罗喉、计都即正交、中交行度，古今为平行。今细测之，月有时在交上，以平求之，必不合算。因设一加减，为交行均数。四曰天行无紫气。旧谓生于闰余，又为木之余气。今细考诸曜，无象可明，知为妄增。
交食之议四：一曰日月景径分恒不一。盖日月时行最高，有时行最高，有时行最卑，因相距有远近，见有大小。又因远近竿太阴过景，时有厚薄，所以径分不能为一。二曰日食午正非中限，乃以黄道九十度限为中限。盖南北东西差俱依黄道，则时差安得不从黄道道论其初末以求中限乎？且黄道出地平上，两象限自有其高，亦自有其中。此理未明，或宜加反减，宜减反加，凡加进不合者由此也。三曰日食初亏复圆，时刻多寡恒不等，非二时折半之说。盖视差能变实行为视行，则以视差较食甚前后，鲜有不参差者。夫视差既食甚前后不一，又安能令视行前后一乎？今以视行推变时刻，则初亏复圆，其不能相等也明矣。四曰诸方各依地经推算时刻及日食分。盖地面上东西见日月出没，各有前后不同即所得时刻亦不同。故见食虽一而时刻异，此日月食皆一理。若日食则因视差随地不一，即太阴视距不一，所见食分亦异焉。
五纬之议三：一曰五星应用太阳视行，不得以段目定之。盖五星皆以太阳为主，与太阳合则疾行，冲则退行。且太阳之行有迟疾，则五星合伏日数，时寡时多，自不可以段目定其度分。二曰五星应加纬行。盖五星出入黄道，各有定距度。又木、土、火三星冲太阳纬大，合太阳纬小。金、水二星顺伏纬小，逆伏纬大。三曰测五星，当用恒星为准则。盖测星用黄道仪外，宜用弧矢等仪。以所测纬星视距二恒星若干度分，依法布算，方得本星真经纬度分。或绘图亦可免算。
是时新法书器俱完，屡测交食凌犯俱密合，但魏文魁等多方阴挠，内官实左右之。以故帝意不能决，谕天经同监局虚心详究，务祈书一。是年，天经推水星伏见及木星所在之度，皆与大统各殊，而新法为合。又推八月二十七日寅正二刻，木、火、月三曜同在张六度，而大统推木在张四度，火、月张三度。至期，果同在张六度。九年正月十五日辛酉，晓望月食。天经及大统、回回、东局，各顶推亏圆食甚分秒时刻。天经恐至期云掩难见，乃按里差，推河南、山西所见时刻，奏遣官分行测验。其日，天经与罗雅谷、汤若望、大理评事王应遴、礼臣李焻及监局守登、文魁等赴台测验，惟天经所推独合。已而，河南所报尽合原推，山西则食时云掩无从考验。
帝以测验月食，新法为近，但十五日雨水，而天经以十三日为雨水，令再奏明。天经覆言：
谕节气有二法：一为平节气，一为定节气。平节气者，以一岁之实，二十四平分之，每得一十五日有奇，为一节气。故从岁前冬至起算，必越六十日八十七刻有奇为雨水。旧法所推十五日子正一刻者此也，定节气者，以三百六十为周天度，而亦以二十四平分之，每得一十五度为一节气。从岁前冬至起算，历五十九日二刻有奇，而太阳行满六十度为雨水。新法所推十三日卯初二刻八分者此也。太阳之行胡盈有缩，非用法加减之，必不合天，安得平分岁实为节气乎？以春分症之，其理更明。分者，黄赤相交之点，太阳行至此，乃昼夜平分。旧法于二月十四日下，注昼五十刻、夜五十刻是也。夫十四日书夜已平分，则新法推十四日春分者为合天，而旧法推十六日者，后天二日矣。知春分，则秋分及各节气可知，而无疑于雨水矣。
已而天经于春分屈期，每午赴台测午正太阳高度。二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十分。末经乃言：
京师北极出地三十九度五十五分，则赤道应高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，其午正高度与赤道高度等，过此则太阳高度必渐多，今置十四日所测高度，加以地半经差二分，较赤道已多五分。盖原推春分在卯正二五分弱，是时每日纬行二十四分弱，时差二十一刻五分，则纬行应加五分强。至十五日，并地半径较赤道高度已多至三十分，况十六日乎？是春分当在十四，不当在十六也。秋风京然。又出节气图曰：
内规分三百六十五度四分度之一者，日度也。外规公三百六十度者，天度也。自冬至起算，越九十一日三十一刻六分，而始历春分者，日为之限敢，乃在天则已逾二度余矣。又越二百七十三日九十三刻，一十九分，而即交秋分者，亦日为之限也，乃在天不及二度余。岂非旧法春分每后天二日，秋分先天二日耶？
十年正月辛丑朔，日食，天经等预推京师师见食一分一十秒，应天及各省分秒各殊，惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。大统推食一分六十三秒，回回推食三分七十秒，东局所推止游气侵光三十馀秒。而食时推验，惟天经为密。时将废大统，用新法，于上管理另局历务代州知州郭正中言：“中历必不可尽废，西历必不可专行。四历各有短长，当参合诸家，兼收西法。”十一年正月，乃诏仍行大统历，如交食经纬，晦朔弦望，因年远有差者，旁求参考新法与回回科并存。上年，进天经光禄寺卿，仍管历务，十四年十二月，天经言：“大统置闰，但论月无中气，新法尤视合朔后先。今所进十五年新历，其十月、十二月中气，适交次月合朔时刻之前，所以月内虽无中气，而实非闰月。盖气在朔前，则此气尚属前月之晦也。至十六年第二月止有惊蛰一节，而春分中气，交第三月合朔之后，则第二月为闰正月，第三月为第二月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食，测又独验。八月，诏西法果密，即改为大统历法，通行天下。未几国变，竟未施行。本朝用为宪历。
按明制，历官皆世业，成、弘间尚能建修改之议，万历以后则皆专己守残而已。其非历官而知历者，郑世子而外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有著述。唐顺之未有成书，其议论散见周述学之历宗通议、历宗中经。袁黄著历法新书，其天地人三元，则本之陈壤。而雷宗亦著合璧连珠历法皆会通回回历以入授时，虽不能如郑世子之精微，其于中西历理，亦有所发明。邢云路古今律历考，或言本出魏文魁手，文魁学本虑浅，无怪其所疏授时，皆不得其旨也。
西洋人之来中土者，皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同，而加精密。尝考前代，远国之人言历法者多在西域，而东南北无闻。(唐之九执律，元之万年历，及洪武间所译回回历，皆西域也。)盖尧命义、和仲叔分宅四方，义仲、义叔、和叔则以隅夷、南交、朔方为限，独和仲但曰“宅西”而不限以地，岂非当时声教之西被者远哉。至于周末，畴人子弟分散。西域、天方诸国，接壤西陲，百若东南有大海之阻，又无极北严寒之畏，则抱书器而西征，势固便也。瓯罗巴在回回西，其风俗相类，而好奇喜新竞胜之习过之。故则历法与回回同源，而世世增修，遂非回回所及，亦其好胜之欲为之也。义、和既失其守，古籍之可见者，仅有周髀范围，亦可知其源流之所自矣。夫旁搜采以续千百年之坠绪，亦礼秀求野之意也，故备论也。
<b>译文</b>
后世制度胜过古代，并经多次改动而更加严密的，祇有历法最为显著。
唐书历志认为天是运动的物体，时间久了就有差错，不得不多次变动历法以跟上它。
这种说法看起来羞不多，其实不对。
易经说：“天地之道，是以正确昭示于人。”天的运行最为刚健，确实是有规律的，本来没有古今的差异。
其岁差盈缩迟疾各种情况，古代无而现在有，是因为其数量很小，积累久了纔显著。
古人没有感觉到，而后人感觉到了，并不是天运行的差错。
如果天果真是运行久了有差错，那必然参差衰败而没有规律，又从哪儿去修改而使它更严密呢？看史书传志的记载，岁星宫次混乱、太阳运行度数失常的事情，不出现在近代，也可看出这一点。
天的运行规律繁复，而人的智力有限，拿着几尺长的圭表，去仰测苍穹，怎么能看清一切而没有遗漏呢？只有综合古人今人的思想，继续前人的业绩而加以扩充修订，大概纔能符合实际。
所以不可能制定一成不变的历法。
从黄帝到秦，历法共改了六次。
漠共改了四次。
从魏到隋，改了十五次。
从唐到五代，改了十五次。
宋改了十七次。
从金到元，改了五次。
只有明的大统历，实际上就是元的授时历，袭用了二百七十多年，未曾改变历法。
成化以后，日食月食往往不灵验，议论改变历法的人很多。
如俞正己、冷守中这些无知妄说的人就不说了，而华湘、周濂、李之藻、邢云路这些人颇有见解。
郑王世子朱载堉撰写了律历融通，进献圣寿万年历，他的说法来源于南都御史何瑭，深得授时历的旨意，而又能补正它的不足。
主管官员拘泥于旧说，当事者又害怕变革，都予以阻拦而未能推行。
崇祯年间，朝廷议论采用西洋新历，皇上命令阁臣徐光启、光禄卿李天经先后管理此事，编成历书一百三十多卷，多能提出古人所没能提出的看法。
当时平民魏文魁上疏抨击新历，皇上下诏设立两局来推算检验。
经过几年校核检测，新历特别严密，然而也没来得及颁行。
由此看来，历法本来就没有使用长久而无差错的，怎么能不随时修改，以求合乎天的运行呢！现在采集各家说法中有助于历法的，著录在篇首。
而大统历则叙述它的立法的本原，以补元史•历志的不足。
回回历始终都属于钦天监管理，与大统历参互使用，也附录在这里。
历法沿革昊元年十一月乙未冬至，太史院使刘基率领他的下属高翼进呈戊申大统历。
太祖下谕说：“古代冬末颁布历法，太迟了。
现在在冬至，也不好。
应该在十月初一，着焉法令。”洪武元年，改太使院为司天监，又设置回回司天监。
皇上下诏召元太史院使张佑、回回司天太监罴的儿等共十四人，不久又召回回司天台官郑阿里等十一人到京，讨论历法。
三年，改司天监为钦天监，下设四科：天文、漏刻、大统历、回回历。
以监令、少监统率他们。
每年制订大统民历、御览月令历、七政躔度历、六壬遁甲历、四季天象占验历、御览天象录，各在适当的时候上呈。
发生日食月食的分秒时刻、起复方位，事先桌报皇上知道。
十年三月，皇上与群臣讨论天和日月金木水火土七政的运行，群臣都用蔡氏的左旋之说来应对。
皇上说：“朕自起兵以来，仰观天象，天向左旋转，七政向右旋转，历术家的说法，确实而不可改变。
你们还墨守着蔡氏的说法，难道造就是所谓格物致知的学理吗？”十五年九月，诏令翰林李种、昊伯宗翻译回回历书。
十七年闺十月，漏刻博士元统进言说：“现行历法以大统为名，而积分还继承授时历的数目，这不是重视王朝肇始和敬重皇上即位的做法。
况且授时历以元至元辛巳年为历元即计时起点，至洪武甲子年已累计一百零四年，年代久速，日数盈余，渐渐地与天的运行度数有误差，应该修改。
七政运行不齐，其中的道理很深奥。
听说有一个叫郭伯玉的，精通数学的道理，应召来令他推算，以制成一代的历制。”皇上答复可以，提拔元统焉监令。
元统于是取用授时历，除去其中的一年长度消长的办法，分析它的条例，共得四卷，以洪武十七年甲子为历元，命名为大统历法通轨。
二十二年，改监令、监丞为监正、监副。
二十六年，监副李德芳上疏说：“监正元统改用洪武甲子年作历元，不采用一年长度消长的办法，以此考核鲁献公十五年戊寅天时正点冬至，比以至元辛巳年为历元，差囚天半还多。
现在应当恢复以辛巳年焉历元及一年长度消长的办法。”奏疏呈入后，元统上奏辩解。
太祖说：“两种说法都难以凭信，只有验证七政交会时运行度数没有差错的纔是对的。”从此大统历历元是洪武甲子年，而推算仍然依照授时历的办法。
三十一年，撤鹞回回钦天监，回回历科仍旧保留。
丞乐年问迁都顺天，仍然使用应天冬夏昼夜的时刻，到正统十四年纔开始改用顺天的数据。
这年冬天，景帝即位，天文生马轼上奏说，昼夜时刻不宜改变。
皇上下发廷臣集体商议。
监正许惇等说：“前监正彭德清测算得到北京的纬度是四十度，比南京高出七度多，冬至白天长三十八刻，夏至白天长六十二刻。
奏请批准改写进大统历，永远以此为确定的模式。
马轼所言荒诞虚妄，不足听信。”皇上说：“太阳出入的度数，应当采用四方的中央的度数。
现在京城在尧幽都地方，怎么可以作为标准？此后制定历法，仍然采用洪武、永乐的旧例。”景泰元年正月辛卯，卯时后段三刻月食。
钦天监官员误推算焉辰时前段一刻，以致失去救护。
下交法司审讯，定罪服徭役。
皇上诏令宽宥他们。
成化十年，因司天监官员多不称职，提拔云南提学童轩为太常寺少卿，管理司天监事务。
十五年十一月戊戌望日，月食，司天监推算又失误，皇帝认为天象精微渺茫，没有怪罪他们。
十七年，真定教谕俞正己上呈改历议，皇帝下令礼部及童轩参考。
尚书周洪谟等说：“俞正己只根据皇极经世书及历代天文志、历志推算节气和初一，又根据自己的意思创造八十七年约法，每月大小相问。
轻率狂妄，应惩治他的罪行。”于是将俞正己投入钦犯监狱。
十九年，天文生张升进言修改历法。
钦天监说祖宗的制度不能改变，蛋升的提议就被搁置。
弘治年间，月食的推算多次不应验，日食的推算也出现错误。
垂德十二、三年，连续推算日食的韧亏和复圆，都不相，符合。
于是漏刻博士朱裕进言说：“元至元辛巳年距今已二百三十七年，年岁久了不可能没有差错，如不酌情加以增减，恐怕越久差得越远。
请求选派大臣总管此事，命令本监官吏生员一半人用古法推算，一半人用新法推算，两种方法相互验证，回回科用西域九孰历法推算验证。
仍然派遣官员到各省，观察土圭来推测节气的早晚。
反复参照比较，那么日食月食的时刻就可以准确，而七政的运行也可以整齐。”礼部答复说：“朱裕和监官的历法学识未必都精湛，今年十月望日月食，中官正周濂等所推算的，与古法及朱裕所上奏的不同，请到期考察验证。”接着周濂等进言说：“太阳运行的度数每年后退一分五十秒。
今年是正德乙亥年，距元至元辛巳二百三十五年，赤道上的岁差，应当后退三度五十二分五十秒。
不经过订正，推算怎么能相符合。
臣审查校验，求得正德丙子年前天时正点冬至节气应焉二十七日四百七十五分，确定辛卯日丑时前段一刻，太阳运行到赤道箕宿六度四十七分五十秒，黄道箕宿五度九十六分四十三秒为历元。
气、闰、转、交四应，以及周天黄道赤道，各类数据表，都根据岁差，随时改正。
希望命令礼部大臣和钦天监正管理这件事。”礼部上奏说：“古代的历法不能轻易改变，请求沿用旧法。
另外选择精通历学的人，和周濂等用新法参证检酸，再上奏禀报。”皇上听从了。
十五年，礼部员外郎郑善夫进言说：“日月亏食，日食最为难测。
大致月食的程度，只看距离交点的远近，另外没有四季的增减，而且月亮体积小光线弱周围的空间大，八方所见到的都相同。
如果太阳被月亮掩盖，则太阳大而月亮小，太阳在上而月亮在下，太阳逮而月亮近。
太阳的运行有四季的差异，月亮的运行有青、白、朱、黑各二加黄道共九道的分别。
所以南北观察到的景象不同，时间也有差异。
必须根据地方立标尺观测，按照时间求得吻合。
如正德九年八月辛卯日食，历官预报日食程度为八分六十七秒，而福建、湖广地方，最终达到了全食。
时刻分秒，怎么能相同？现在应按照日月食更改历元，时刻分秒，一定要将零数分割完毕。
不然，积累多年，太旸运行的远近、月亮在月初月底出现的方位，又不符合了。”皇上没有答复。
十六年，因南京户科给事中乐护、工部主事华湘通晓历法，都提升焉光禄寺少卿，管理钦天监事务。
嘉靖二年，华湘进言说：“古今善于制定历法的有三家，汉太初历用音律，唐大衍历用蓍草占卜，元授时历用日晷测影，最为接近真实。
想订正历法而不登观象台测日影，都是空话和缺乏根据的看法。
希望准许臣暂时停止上朝参拜，率领中官正周濂等，赶在冬至前到观象台，昼夜观测推算，逐日逐月记录，直到明年冬至，以验证二十四节气、春分秋分夏至冬至及日月每月初一同时出现、太阳月亮的运行、黄道赤道、早晨黄昏时中天南方的星宿、七政和四余的运行度数，与元辛巳年所测定的数据相比，异同如何，依次记录禀告。
另外请救命礼部访求延聘精通历法敷术的人，征召到京城，命令他们详细测定岁差，以完成本朝的历制。”下发礼部集体商议，而乐谨说历法不能改动，与华湘很不相同。
礼部上报说：“华湘想自己观测，不是没有见识。
请两位臣子各自完全说出自己的见解，穷尽所有相同相异之处，以与天道相协调。”皇上听从了。
七年，钦天监上奏说：“闺十月初一，按回回历推算日食程度二分四十七秒，按大统历推算不发生日食。”后来没有发生日食。
十九年三月癸巳初一，台官报告要发生日食，后来没有发生日食。
皇上很高兴，以为是上天关照自己，然而实际上是由于推算的疏误。
隆庆三年，掌管钦天监事务的顺天府丞周相刊印大统历法，其中历法源流部分逐一叙述古今各种历法的异同。
万历十二年十一月癸酉初一，按大统历推算日食程度九十二秒，按回回历推算不发生日食，事后回回历应验。
礼科给事中侯先春于是进言说：“近年月食在酉日而预报说在戌日，月食将要达到全食了却预报说不到九分，差错太大了。
回回历科推算日食月食，五星冲犯，最为精密，何不编入大统历中，以备考察检验。”皇帝下诏许可。
二十年五月甲戌夜发生月食，钦天监官员推算差错一天。
二十三年，郑王世子朱载堉迄献圣寿万年历、律历融通二书。
奏疏大致说：“高皇帝推翻元朝时，元的历法使用不久，节气和朔日都没有差错，所以没有改制历法，只是斟酌修订而已。
积累年岁久了以后，节气和朔日逐渐有误差。
后汉书，律历志说‘每遇三百年，历法就应改制’。
现在以万历为历元，而到万历九年辛巳正好到了‘历法改制’的时间，又合‘干卦用九’的意思，历元正在这时。
臣曾拿大统历和授时历进行比较，考察古代则节气差错三天，推算现时则时间差错九刻。
误差虽然祇有九刻，如处在夜半之际，误差就隔了一天。
节气相差一天，则安排闰月就相差一月。
闰月相差一月，则时间就差了一季。
时间差了一季，则年岁就相差一年。
其失误难道是微小的吗？因为授时历削减日长的分数太多，所以出现预报日期比天象早的失误；大统历不削减日长的分数，所以出现预报日期比天象晚的失误。
因此汇合两家的做法，酌情选取折中的数据，确立为新的比率，编撰成书，主要意旨出于许衡，而与许衡的历法不同。
黄钟是律历的根本，但旧有历法很少谈到它，新历法就以推算音律的阴阳变化为首。
尧的时候冬至时太阳运行在二十八宿的位置，何承天推算在女宿十度左右，一行推算在女宿和虚宿之间，元代人的历法论述也说在女宿、虚宿交界的地方。
而授时历考求，却在牛宿二度。
大统历考求，却在危宿一度。
相差二十六度，都不与尧典相合。
新历法向上考求尧元年甲辰年，夏至正午，太阳在柳宿十二度左右，冬至正午，太阳在女宿十度左右，心宿昴宿作为夏至冬至黄昏时的中星，各离午时前段不超过半个宿次，与何承天、一行两家的说法相合。
这些都是与旧历法显著的不同处，其余详见历议。
希望敕令大臣名家参订采用。”朱载堉的历法首先是推算太阳的往返。
选取嘉靖甲寅年焉历元，一个元纪为四千五百六十年，一个期实一千四百六十一年，节气岁差一秒七十五忽.岁周和气策没有固定的比率，各自根据岁差推求而采用。
律应即是气应五十五日六十刻八十九分，律总旬周六十日。
其次是推算朔闰。
朔望弦的度数和授时历相同，闰应十九日三十六刻十九分。
再其次是推算太阳的运行度数。
太阳平均日行一度，运行周期即是天周三百六十五度二十五分，半周为一半，象限长度又为一半，辰的长度是运行周期的十二分之一。
黄道、赤道的岁差，盈初缩未限，缩初盈末限，都与授时历相同，周应二百三十八度二十二分三十九秒。
按授时历求太阳运行度敷的方法是，用周应加积度，规定从虚宿七度算起，它的周应就是从虚宿七度到箕宿十度的数字。
万年历法用周应碱积度，规定从角宿初度算起，它的周应是从箕宿十度到角宿初度的数字，应当是二百八十六度四十五分。
现在数字不相合，可能有错误。
再其次是推算晷影和滴漏。
北极出地的度数，冬至、夏至正午晷影的长度和冬至夏至昼夜长短的刻敷，都以京师焉准。
参照岳台的测量数据，可以看出各处因距离不同引起的差数。
再其次是推算月亮运行。
月平行度、转周、转中，与授时历相同。
离周即是迟疾限三百三十六限十六分六十秒，离中折半，离象又折半。
转差一日九十七刻六十分。
转应七日五十刻三十四分。
再其次是推算交道。
正交、中交与授时历相同。
距交十四度六十六分六十六秒。
交周、交中、交差，与授时历相一致。
交应二十日四十七刻三十四分。
再其次是推算日月食。
日食交外限六度，定法六十一，交内限八度，定法八十一。
月食限定法与授时历相同。
再其次是推算五星。
合应：土星二百六十二日三千零二十六分，木星三百一十日一千八百三十七分，火星三百四十三日五千一百七十六分，金星二百零三日八千三百四十七分，水星九十一日七干六百二十八分。
历应：土星八千六百零四日五千三百三十八分，木星四千零一十八日六千零七十三分，火星三百一十四日零四十九分，金星六十日一千九百七十五分，水星二百五十三日七千四百九十七分0周率、度率及晨夕伏现度，都与授时历相同。
他论述岁余，说：“阴阳消长的道理，是逐步变化而积累，没有不从秒开始的。
授时历考察古代，在一百年的交接处就马上加一秒，从道理上讲不妥当。
比如鲁隐公三年辛酉年，往下距离元至元辛巳年二千年，用授时历的方法计算，这一年该加二十分，推得庚午日六刻，是这一年的天正冬至。
鲁隐公四年壬戌年，往下距离元至元辛巳年一千九百九十九年，按算法该加十九分，推得乙亥日五十刻四十四分，是这一年的天正冬至。
两个冬至相减，得数相距三百六十五日四十四刻四十四分，那么这一年的岁余是九分之四日，而不是四分之一日了。
历法的荒谬，没有比这个更严重的了。
新历法酌情考虑，如果每年增减二秒，往上推，就与昭公己丑年不合；增减一秒至一秒半，又与僖公辛亥年不合。
现在大致取一个折中数，方法是将定距自乘，再乘以七除以八，得到的百位数，化为分，得敷焉一秒七十五忽，逭样辛亥、己丑都可以兼顾了。”他论述太阳运行，说：“古历见于六经并明确可考的，没有比得上太阳运行和中星的了。
而推算家很少有能透彻理解的，都是因为不知道夏历、周历的差异。
大致夏历以节气为主，周历以中气为主。
何承天以正月甲子夜半合朔雨水为历元，进与夏历不合，退又不合周历。
所以近代推算月令、小正的，都不能与古代相合。
臣曾以新历法的岁差，向上考察尧典的中星，那么所谓的四仲月，大概是从节气的开始到中气的末尾，三十天内的中星而已。
后世拘泥于春分秋分夏至冬至，这也就错了。”他论述测量北极出地，说：“从汉到齐、梁，都认为纽星就是不动的地方。
只有祖佢之测到纽星离北极有一度多。
从唐到宋，又测到纽星离北极三度多。
元史，历志依从三度，大致还没有定论。
新历法不测纽星，用日影来检验。
在正方的几案上，在一周天的度数内暂时指定一度作为北极，从此度向右旋转，数到六十七度四十一分。
就是夏至太阳运行到的位置。
又旋转到一百一十五度二十一分，就是冬至太阳运行到的位置。
向左旋转，度数也一样。
四处和圆心共五处，各钉一枚针。
在冬至夏至正午，将几案直立向南产生日影，使三枚针的日影相合，然后悬着绳子取到中线，又取方十字划出界限，看横界上距北极的度数，就是北极出地的度数。”他论述日晷测影，说：“何承天立圭表测日影，开始知道从漠以来，冬至都比天象晚三天。
所以推算晷影，是制定历法的重要工作。
授时历也凭借晷影作为根本，而历经不记载推算晷影的方法，这是缺陷。
现在用北极出地的度数，兼用弧矢割圆的方法推求，有望穷尽它的本源。
又随着地势的高低，确定差数来表现它的变化，这是以前所没有的。”又说：“授时历议根据漠书，律历志鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，引用为首例。
献公十五年往下到鲁隐公元年己未，有一百六十一年，时间不在春秋时段以内是很明白的了。
而元史，历志却说‘自春秋献公以来’，又说‘昭公冬至，就是太阳运行失常的证据’，是错误的。
献公甲寅冬至，没有别的依据，只有刘歆三统历这样说。
难道左传不可信，而刘歆却可信吗？太初元年冬至在辛酉，刘歆却认为是甲子，相差三天，这都尚且不能知道，还能够推知上下几百年吗？所以大凡春秋前后千年之间，气朔交食，长历、大衍历所推算的大致对，而刘歆、班固所说的完全是错的。”又说：“大衍历议说宋元嘉十三年十一月甲戌，影长是太阳运行度数的异常变化，授时历议也这样说，臣私下认为这是错的。
如果太阳运行超出了常规，应当像岁差一样，渐渐地变化。
今年已经不合，来年难道能又相合吗？大概前人的测量，有的不严密罢了。
冬至的日影有一丈多长，圭表高，日影长，那么日影就虚而淡。
有时设置望筒、副表、影待之类来求实影，然而望筒或许有低昂，副表、影符或许有前后，所用的圭表或许稍有倾斜，圭面或许稍有不平，冬至夏至前后几天的日影，进退只在毫厘之间，也很难辨认。
何况委托的人，不知是否恰当。
边远的地方，既然不是亲眼所见，他人所报告的晷影，难道可信吗？”他论述漏刻，说：“日月带食出入，五星晨昏伏现，历家制定历法都以日晷漏刻为准。
而日晷漏刻也随着地势的南北，纬度的高低有差异。
元人以燕京为都城，他们的授时历中日月五星出入的早晚，四季日夜的长短，都以大都的日晷漏刻焉准。
国朝初年建都金陵，大统历日晷漏刻改为依从南京，冬至夏至相差三刻多。
现在推算日月食的分秒，南北东西等差及五星定伏定现，都根据元人的旧法，而单单改变了漏刻，因此互相违背出现错误。
所以新法日晷漏刻，照样依据元朝的老数字。”他论述日食，说：“日道和月道相交点有两处，如果日月正好在交点相会，就是全食，如果只在交点前后相近的地方相会，就会发生日食但不是全食。
这是天的相交限度。
还有人的相交限度，如果在中原是全食，那么在太阳的正下方，亏食只有一半，到僻远的地方，则是日月相会而不食。
几个地方交换反过来看，也是一样。
为什磨呢？太阳像一个大的红丸子，月亮像一个小的黑丸子，共同悬挂在一根线上，太阳在上而月亮在下，如果从正下方望去，黑丸子必定掩盖红丸子，就像日全食；到旁边观看有远近的差别，那么日食的程度就有多少了。
春分以后，太阳在赤道北面运行，交外偏多，交内偏少。
秋分以后，太阳在赤道南面运行，交外偏少，交内偏多，所以有南北差。
冬至以后，太阳在黄道柬面运行，午前偏多，午后偏少。
夏至以后，太阳在黄道西面运行，午前偏少，午后偏多，所以有东西差。
中午仰视太阳就高，早晚平枧太阳就低，所以有距午差。
中午前日食看见得早，中午后日食看见得迟，所以有时差。
这种种差别，只有太旸纔有，月亮没有。
所以推算交食，只有太阳很困难。
想推算各个地方的变化，必须到那个地方，考察晷影的短长，测量星辰的高低，纔有希望得到。
历经推定的数据，只是根据燕京所见到的来立说而已。
老话说：‘月亮运行内道，日食多能应验。
月亮运行外道，日食多不应验。
’又说：‘天的相交限度，虽然是在内道，若在人的相交限度之外，也同外道相似，也不发生日食。
，这种说法大致不错，但不全对。
假如在夏至前后，在十二辰的寅卯酉戌之间发生日食，人向东北、西北观看，那么外道食分反而多于内道了。
太阳体积大于月亮，月亮不能完全掩盖，有时遇到全食，而阳光四溢，形状如同金环，所以太阳没有日食十分的道理。
即使全食，也只有九分八十秒。
授时历日食，阳历限六度，定法六十，阴历限八度，定法八十。
各将其限度，除以定法，都得到十分。
现在在它们的定法下各加上一，用限度相除，就得到九分八十多秒了。”他论述月食，说：“暗中虚的东西，是影子。
影子遮蔽月亮，没有早晚高低的差异，四季地区的不同。
比如悬一粒黑丸子在黑暗的屋子中，在它的左面点燃蜡烛，右面悬一粒白丸子，如果烛光被黑丸子遮蔽，那么白丸子就接受不到光线了。
人在四面观看，所见到的没有不同。
所以月食役有时差的说法。
自从纪元历虚妄地定下时差，授时历也因袭它，是错误的。”他论述五星，说：“古法推算五星，不知道变敷的加减。
北齐张子信长期仰观天文，知道五星有盈缩的变化，应当加减以求每天的运行度数。
五星出入黄道内外，各自有自己的远近轨道，根据和太阳的远近有快慢，它们变化数字的加减，就好像路程的曲直正斜。
宋代有人说：‘五星的运行度数，只有在停留逆行的时候差异最大。
在黄道内前进的，它后退必然向外，在黄道外前进的，它后退必然向内。
它运行的轨迹好像沿着一片柳叶，两端比中间尖，往返的轨道相差很远。
所以五星运行在两端较慢，因为它是斜着运行的缘故。
中间的运行较快，因为它道路便捷的缘故。
，前代修订历法，只是缯减旧法而已，不曾实际考察天体的运行度数。
办法是必须测量检骏每晚黄昏、夜半、拂晓月亮及五星所在的度秒，，用本子记录下来。
满五年，除去中间阴云和五星出现在白昼的日数，可以测得三年的实际运行，然后可以推算补缀了。”奏疏上呈，礼部尚书范谦上奏说：“岁差的规律，从虞喜以来，每代都有岁差规律的议论，最终没有统一的规矩。
用来求岁差的方法，大致有三种：考察月令的中星，测量冬至夏至的日影，检验交食的分秒。
用衡管考察，用圭表测量，用漏刻验证，这也可望得到结果了。
历家用周天三百六十五度四分之一度，来记录日月五星的运行，又分一度为一百分，一分为一百秒，可以说很精密了。
然而浑天仪直径只有几尺，分布周天的度数，每度不到一指头宽，又在哪儿去安置分秒呢？至于树立的圭表不过几尺，刻漏的筹码不过几寸。
以天的高而且广，而用几尺几寸大小的东西来测量它，想要丝毫不差，不是太难了吗？所以当它差在分秒之间，无法检验，到差错超过一度，纔可以观察了。
这就是穷尽了古往今来人们的智慧和灵巧，还不能完全测算到天体变化的原因吧。
就以郑王世子来说，将大统历、授时历两历进行比较，考察古代气差了三日，推究今日时间差了九刻。
时间相差九刻，在亥时和子时之间就移动了一日，在晦日和朔日之交就移动了一月，这是可以在现在验证的。
如果时间前移，那新月就出现在二日的黄昏，如果后移，新月就出现在四日的晚上了。
现在似乎还没有到逭一步。
郑王世子的书应该下发钦天监参订测验。
世子用心于历学，博古通今，应该赐敕书奖励。”皇帝听从了他的意见。
河南愈事邢云路上书说：“治理历法的要点，没有超过观测天象、测量日影、测算天时、筹划计算四件事。
现在丙申年日至，臣测得在乙末日未时后段一刻，而大统历推算在申时后段二刻，相差九刻。
而且今年立春、夏至、立冬都正巧在子时一半的时刻。
臣推算立春在乙亥，而大统历推算在丙子；夏至在壬辰，而大统历推算在癸巳；立冬在己酉，而大统历推算在庚戌0相隔都是一天。
如果正好元日在子时的一半，就该把正月初一退到上月的末尾，而朝贺大礼就在正月二日了。
这难道是小事吗？闰八月朔日，日食，大统历推算初亏在巳时后段二刻，接近日全食，而臣测到初亏在巳时后段一刻，亏食只有七分多。
大统历实际落后于天象将近二刻，那么闰应及转应、交应，都各应增减了。”钦天监见到邢云路的奏疏，十分厌恶他。
监正张应侯上奏斥责，说他超越本分，狂妄惑众。
礼部尚书范谦却说：“历法是国家的大事，士大夫应当讲求，不是从事历法的人能够私自占有的。
法律禁止的，只是说妖异吉凶而已。
钦天监官员墨守成法，不能修改以符合天象。
幸好有邢云堕这样的人，应当与他和衷共事，不应该妒忌。
请求任命邢云路管理钦天监事务，率领督促部属，精心测量，以制成大典。”奏议上呈，皇帝没有答复。
三十八年，钦天监推测十一月壬寅朔日日食的程度及初亏复圆的情况，职方郎范守己上疏驳斥他们的错误。
礼官于是请求广招懂历学的人，命他们与钦天监官员日夜推测，以求历法没有差错。
这时五官正周子愚进言说：“大西洋来归顺的远方臣子庞迪峩、熊三拔等，带有那个国家的历法，多是中国典籍中没有的。
请求仿照洪武年间翻译西域历法的先例，选取懂历法的大臣率领钦天监官员，将各种书全部翻译，以补充典籍的缺陷。”在此之前，大西洋人利玛窦进贡土产，而庞迪峩、熊三拔及龙华民、邓玉函、汤若望等先后到来，都精通天文历法。
礼部于是上奏说：“精通历法，像邢云路、范守己这样的人，被时人推重，请求改授京官，共同管理历法事务。
翰林院检讨徐光启、南京工部员外郎李之藻也都精心研究历法原理，可以和庞迪峩、熊三拔等共同翻译西洋历法，让邢云路等参订修改。
然而历法的粗疏严密，没有比日月食表现更明显的了，想要议论修订历法，必须注重测量检验。
请命令有关部门整治仪器，以便于事情的进行。”奏疏呈入，留在宫中。
不久邢云路、李之藻都被召到京城，参预历法事务。
邢云路根据他所举的理论，李之藻则以西洋历法为宗旨。
四十一年，李之藻已改任南京太仆少卿，上奏呈上西洋历法，大致说了钦天监推算日月交食时刻亏分的错误，并极力推荐庞迪峩、熊三拔及龙华民、阳玛诺等，说：“他们论述天文历法，有中国过去的贤人所赶不上的，不但讨论运行的度数，而且又能说明其所以然的道理。
他们所制造的观测天象太阳的仪器，每种都精妙绝伦。
现在庞迪峩等年龄逐渐衰老，请求命令礼部设置机构，把他们的历法取来，翻译成书。”礼科姚永济也以此进言。
当时各种事情都因循守旧，没有功夫来设置翻译机构。
四十四年，邢云路进献七政真数，说：“推算历法的方法，必须用两个交点相对。
两个交点正确，中间的时刻分秒的度数，一一可以查考落实。
日月的交食，五星的冲犯，都是日月五星的交会。
两个交点相对，互相说明，日月五星的事情就完全清楚了。”玉启元年春，邢云路又详细叙述古今日月交食的几件事，以说明授时历的粗疏，证明新历法的精密。
奏章下发礼部。
四月壬申朔日日食，邢云路所推算的食分时刻，和钦天监所推算的互有差异。
自己说新历法十分精密，到时检验，都与天象不合。
邢云路又曾论述大统历宫度的交界，应当用岁差来考定，不应当仍然用授时历三百年前所测定的数据。
又说月份和十二辰的对应与北斗斗柄的指向没有关系，北斗斗柄所指有岁差，而月份和十二辰的对应没有变动。
这些都是确切的评论。
塞祯二年五月乙酉朔日日食，礼部侍郎徐光启按照西洋历法预测，顺天府见日食二分多，琼州日全食，大窒以北不发生日食。
大统历、回回历所推算的，顺天府的时分时刻，舆徐光启不同。
后来徐光启的算法应验了，其它的都有疏误。
皇帝严厉指责钦天监官员。
这时五官正戈丰年等进言说：“大统历是建国初年制定的，实际上就是郭守敬的授时历，二百六十年丝毫没有增减。
从至元十八年制定历法，遇了十八年到大德三年八月，已经预报要发生日食而没有发生，六年六月又发生日食而没有推算出来。
当时郭守敬正主持太史坑事务，也无可奈何，更何况那些拘谨守法的人呢？现在如果遵循旧法，往后不能没有差错。”于是礼部上奏设置机构修改历法，皇帝就让徐光启统领修订历法。
徐光启进言说：“近代谈历法的各家，大都尊崇郭守敬的历法，至于说岁差有循环，岁寅有参差，天有纬度，地有经度，各宿有本行，月亮五星有本轮，日月有真正的会合、视觉的会合，都是古代没有听说遇的，祇有西洋历法纔有。
而舍弃这几绦法则，那磨日月交食五星冲犯，最终不会有切合的理论。
应该取来相互考订，使它与大统历汇合而一。”事后徐光启上奏修订历法的十件事：第一，讨论岁差，每年束行逐渐变长逐渐变短的数据，以纠正自古以来一百年、五十年、六十年多少不同的说法。
第二，讨论岁实小余，古代多，现在少，逐渐在改变，以及日影长短年年不同的原因，以确定冬至，以订正气和朔日。
第三，每天测量太阳运行的经度，以确定盈缩加减差的准确比率，东西南北高下的差异，以推算太阳的运行。
第四，晚上测量月亮运行的经纬度数，以确定交转迟疾的准确比率，东西南北高下的差异，以推算月亮的运行。
第五，精密测量各宿的经纬运行度数，以确定日月五星盈缩、迟疾、顺逆、违离、远近的数据。
第六，精密测量五星的经纬运行度数，以确定小轮运行的迟疾、停留逆行、伏现的数据，东西南北高下的差异，以推算五星冲犯。
第七，推算黄道赤道问变宽变窄的度数，精密测量黄道赤道的距度，以及月亮五星各道与黄道相距的度数，以确定交转。
第八，讨论日月离交点的远近及真正会合、视觉会合的原因，以确定距午时差的准确比率，以订正日月食。
第九，测量太阳运行，考察出南北极出入地的度数，以确定周天的纬度，以弄清日月五星的运行。
通过月食考察确定东西相距地轮的经度，以确定交食的时刻。
第十，依照唐、元的方法，在各地测量南北极出入地的度数，地轮的经纬度，以求昼夜晨昏的长短，以订芷交食有无、先后、多寡的数据。
并以此机会推荐南京太仆少卿李之藻、西洋人龙华民、邓玉函。
皇帝批覆同意。
九月癸卯开设历局。
三年，邓玉函去世，又征召西洋人汤若望、罗雅谷译书演算。
徐光启进升礼部尚书，仍然统领修订历法。
这时巡按四川御史马如蛟推荐资县诸生冷守中精通历学，将他所呈递的历书送交历局。
徐光启极力驳斥它的荒谬，并预推第二年四月四川月食的时刻，叫他们到时测量比较。
四年正月，徐光启进呈历书二十四卷。
夏四月戊午，夜望月食，徐光启预推了分秒食刻方位。
上奏说：“日食各地不同，就用地的纬度算它的食分的多少，用地经度算它的加时的早晚。
月食的分秒，各地相同，只是用地经度推求它的先后时刻。
臣从地图大致推算，开列各布政司月食初亏度分，食分多少既然天下都相，同，那么余率就可以类推，不像日食在不同的经纬各不相同，必须详细算出。
又月体十五分，那么完全进入虚暗的空间也只有十五分。
现在推算二十六分六十秒，是虚暗的空间大于月亮，如果月食时离交点较速，月体就不能完全进入虚暗空间，只能从月体来说它的分数。
这晚上的月食，极其接近交点，所以月亮进入虚暗中十五分就是食既，再进去十一分多，就是生光，所以是二十六分多。
如回回历推算十八分四十七秒，大致和这种方法相同。”后来四川报告冷守中推算的月食实际差二时，而新方法密切相合。
徐光启又进呈历书二十一卷。
冬十月辛丑朔日日食，新法预推顺天见食二分十二秒，应天以南不发生日食，大漠以北全食，按惯例因京师见食不到三分，不采取救护措施。
徐光启说：月食在晚上，加时的早晚，苦于没有依据。
只有日食按日晷定时，无法变动。
所以历法的粗疏严密，这是确实的证据。
臣等编纂新历法，逐渐就绪，而以后一次的交食，为期还速，现在不和钦天监臣共同见证，到历法编成以后，将用什么证实？而且这次日食必须观测，还有另外的理由。
旧历法日食在正中，就没有时差。
现在这次日食既然在中午，而新历法仍然有时差，是因为日月五星运行都沿着黄道，不由赤道。
旧历法所说的中是赤道的午中，而不是黄道的正中。
黄赤二道的中，只有冬至夏至加时正午，纔可能同度。
现在十月朔离冬至的度数还远，两个中的差，有二十三度多，难道可以因为加时接近中午。
就不加不碱吗？正好碰上这一天，又是这个时刻，足以验证关于时差的方法，这是第一点。
本地的经度，没有得到准确的比率，那么加时就难以确定，它的数据一定要从交食时测验几次，纔可以勘测统一。
现在这次日食依照新方法测量，它的加时刻分，或许前后不合，应当取从前所记的地经度数，斟酌改定，这可以求得里差的准确比率，这是第二点。
定时差的方法，祇知道在中没有加碱，但不知道中还要分黄道和赤道，现在一经过目睹，就人人都知道加时要根据黄道。
由此及彼，其它方法也是一样，由此足以知道学习很容易，这是第三点。
即使分数很少，也应该详细测量，以求应验。
皇帝觉得他说得对。
到时，徐光启率领钦天监大臣预点日晷，调整壶漏，用测高仪器测量食甚时日晷的高度。
又在暗室中斜着开了一道缝隙，设置窥管、远镜以测亏圆，画日体分数图板以确定食分。
这次日食的时刻、高度全都相合，只是食甚分数不到二分。
于是徐光启进言说：“现在食甚的度分密切相合，那么经度里差就不必更改了。
只有食分不合，原来推算的大概是因为太阳光大，能够减小月亮的影子，一定会亏食到四五分以上，纔能与原来的推算相合。
然而此次观测，是使用暗室窥管，所以能得到这样的分数。
如果只凭眼力，或用盆子装水来照映，就会眩耀不定，恐怕还不止这个数了。”当时有满城平民魏文魁，着了历元、历测两本书，叫他的儿子魏象干将历元进献给朝廷，通政司送到历局考索验证。
徐光启摘录了应当极力论证的七个问题：第一，岁实从汉以来，代代有减差，到授时历碱为二十四分二十五秒。
依郭守敬的方法一百年碱一秒，现在应当是二十一秒多。
而历元用赵知微的三十六秒，反复加很多。
第二，根据弧背求弦矢，应当用密率。
现在历测中还用径一围三的方法，不合弧矢的真实数据。
第三，盈缩限，不在冬至夏至，应在冬至夏至后六度。
现在考察太阳的运行，春分到夏至，夏至到秋分，这两限中，日时刻分不等。
又立春到立夏，立秋到立冬，这两限中，日时刻分也不等。
从测量可以见到。
第四，说月亮最远运行快，最近运行慢，而且用圭表测到它，不对。
月亮的快慢是入转内的事，圭表测高下是入交内的事，岂容混合推算。
而月亮运行在转周之上，又向左旋转，所以最逮向西行最慢，最近向东行最快，旧历法正相反。
第五，说日食在正午没有时差，不对。
时差所说的距离，不是距赤道的午中，而是距黄道限东西各九十度的中。
黄道限的中，有距午前后二十多度的，只依午正加减，怎能必然相合。
第六，说交食定限，阴历八度，阳历六度，不对。
日食，阴历应在十七度，阳历应在八度。
月食则阴阳历都是十二度。
第七，历测说：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日食剩下的部分像钩子一样，白天星星显现。
现在用授时历推算，只亏食六分九十六秒，郭守敬的历法有错误。”月食天下都相同，日食各地不同。
南宋建都金陵，郭守敬的历法制定于燕地，纬度相差八度，时间在十一月那么食差有二分弱，说“日食剩下的部分像钩子一样”当在九分左右。
郭守敬历法推得七分弱，却是密切相合，不是不合。
本局现在定日食分数，首先说交，其次说地，再次说时，一样都不可缺。
后来魏文魁反复论辩，徐光启再次阐明前
面的说法，着成学历小辨。他论述岁实小余及日食变差特别明晰。
他说：“岁寅水余，从漠到元逐渐消减。
现在新历法确定采用的岁寅，更比元代减少。
不知道的人一定会说不仅先于天象，更先于大统历。
乃至推壬申冬至，大统历得己亥寅时后段一刻，而新历法推得在辰时前段一刻十八分。
这是为什么呢？大致订正年岁和推算月亮运行相似，冬至没有定率，与定朔、定望没有定率是一样的。
朔望没有定率，应用平朔望和它相加减，冬至没有定率，应用平年和它相加减。
所以新历法的平冬至，虽在大统历前，而定冬至总是在大统历之后。”又说：“宋仁宗天圣二年甲子年，五月丁亥朔，历官推算应当有日食而没有日食，各种历法推算都应当有日食。
从历法来讲确实应当有日食，而在逭时确实没有日食，现在应当如何解释？日食有变差的方法，月亮在阴历，距交点十度多，按历法应当有日食。
而恰好这一天这个地方的南北差，变成了东西差，所以从天体的运行来说，则地心与日月相互参验，确实发生了日食。
而从人的眼睛所见到的，日月相距由近变为逮，确实没有日食。
所以只有汴京是这样，如从汴京以束几千里，就逐渐看得见日食，到东北一万多里外，就全都看得见日食了。
变差随时不同，或多变为少，或少变为多，或有变为无，或无变为有。
推算历法的困难，全在这些地方。”不久，徐光启进入内阁。
五年九月十五日，月食，钦天监推算初亏在卯时前段一刻，徐光启等推算在卯时前段三刻，回回历科推算在辰时前段初刻。
三种方法的异同，招致回答皇帝的诘问。
到时观测，阴天有云，月亮没有出现，无法检验。
徐光启上疏陈述三种历法不同的原因，说：时刻的加减，是由于盈缩、迟疾雨差。
而盈缩差旧历法从冬至夏至算起，新历法从最远点算起，最速点有行分，只有宋绍兴年间与夏至同度。
郭守敬比这晚一百年，相差一度多，所以没有觉察。
现在最速点在夏至后六度，这就是两种历法的盈缩差不同的原因。
迟疾差，旧历法只用一转周，新历法叫作自行轮。
自行轮之外，又有两次轮。
这就是两种历法迟疾差不同的原因。
至于回回历又有不周，或者由于四应，或者由于里差，臣确实不知道其中的缘故。
总之，三种历法都依照自己的办法来推算，不能改变自己的办法去迁就。
将来应该讲求的有两条：一是食分多少。
日食时，阳光闪耀，每每是先发生日食而人后看见。
月食时，云气侵扰，每每人先看见而后发生月食。
其中的差异在一分以上。
现在想明白地看到真实的食分，近来有造窥管的，日食时，在暗室中引来光影，映照在白的丝织品上，初亏至复圆，分数真实准确，明白不差。
月食时用来仰观两个天体离合的时刻，界限分明，与目测完全不同。
这就是测定食分的方法。
二是加时早晚。
测定时间的方法，壶漏是古法，轮钟是新法，然而都不如以太阳和星星作标准。
白天用太阳，晚上任选一个星座，都用仪器测量经纬度数，推算得到时间。
，这是测定时间的方法。
两种方法确立后，那各种技术的粗疏精密，丝毫也不能隐藏了。
古今月食，各种史书都没有记载。
日食，从汉到隋，共二百九十三次，而在晦日日食的七十七次，在晦日前一日的三次，初二日的三次，其疏漏到这样的程度。
唐至五代共一百一十次，而在晦日日食的一次，初二日的一次，初三日的一次，逐渐严密了。
宋共一百四十八次，没有在晦日日食的，更严密了，还是有推算要日食而没有日食的十三次。
元共四十五次，也没有晦日日食的，还是有推算要日食而没有日食的一次，有日食而没有推算出的一次，傍晚日食而写成白天的一次。
至于加时差错在四五刻的，当时已经是这样。
可知高速无穷的事情，必须世代积累，纔能逐渐见到它的头绪。
所以从汉到现在一千七百年，建立历法的有十三家，而郭守敬的为最优秀，尚且不能没有几刻的差错，而何况对于沿袭旧法的人，怎么能要求他精密呢？这一年，徐光启又进献历书三十卷。
笫二年冬十月，徐光启因病辞去了历局的职务，用山东参政李天经代替他。
遇了一个月，徐光启去世。
七年，魏文魁进言说，历官所推的交食节气都不对，于是命令魏文魁进京测骏。
这时论述历法的有四家，除大统历、回回历外，另设立西洋历法为西局，魏文魁焉束局。
每一家的说法不同，乱纷纷的像打官司一样。
李天经缮写进献历书共二十九卷，另有星宿屏风一座，都是已故宰辅徐光启率领西洋人制订制造的。
李天经预推五星冲犯会合行度，说：“闰八月二十四日，木星冲犯积尸气。
九月初四昏初，火星土星同度。
初七卯时后段，金星土星同度。
十一昏初，金星火星同度。
用旧历法推火星土星同度，在初七，这就落后天象三日。
金星火星同度在初三，造就先于天象八日。”而魏文魁则说，李天经所报告的，木星冲犯积尸与天象不合。
李天经又说：“臣在闰八月二十五日夜及九月初一日夜，同礼部臣陈六轮等，用窥管观测，见积尸被几十个小星团团包围，木星与积尸，一起容纳在窥管中。
窥管直径只有一寸多一点，两星相距三十分以内的，纔可能同时出现。
如觜宿三颗星相距三十七分，就不能同时出现。
而魏文魁只根据主观推算，没有经过实测。
据他说初二日木星已在柳宿前，那么在此之前难道能越过鬼宿而飞渡吗？”李天经又推算木星的退行、顺行，两次经过鬼宿，它的度分晷刻，不久都应验了，于是魏文魁的说法被废除了。
李天经又进献历书三十二卷，并有日晷、星晷、窥管等仪器。
八年四月，又献上乙亥丙子七政行度历及参订历法条议二十六则。
其中七政公说有七则：一是各曜的应敷应修改。
日月五星平行起算酌根敷就是应敷，即是某曜某日某时运行到某宫次的数字。
现在新法改定的各项应敷，都从崇祯元年戊辰前，冬至后，己卯日子时后段开始。
二是测各曜的运行度数，应该用黄道仪。
太阳由黄道运行，月亮五星各有自己的轨道，出入黄道内外，不走赤道。
如用赤道仪观测，所得到的经纬度数，必须全部用黄道赤道通率表换算，不如用黄道仪实时得到七政的本度方便。
三是各方七政运行度数，随地方不同。
日月在东西方所见到的交食，时间各有先后，已经不用怀疑了。
那么太阳运行产生二十四节气，与月亮五星的掩食冲犯，怎能不与交食同一道理呢？所以新历法各数据表，虽然以顺天府为主，而推算各方的运行度数，也都各有自己的方法。
四是各曜的加减分，用平、立、定三差法，还不够。
加减平行分以求自身的运行度数，是历家的重要事情。
只是天实际上是圆体，与平行不同，旧历用的三差法，都是从勾股平行来确定的，和天体不合。
就是各盈缩损益数据，也没有得到真实数字。
现在新历法加碱各表，却是用圆治理圆，纔可以与天相合。
五是随时随地可以求得各曜的经度。
旧历法想得到某日某曜的经度，必须先推算各曜冬至日所运行的宫度宿次，然后用各段日度计算纔能得到。
现在的方法不限时间方所，只要查阅本表推算就是了。
六是径一围三，不是弧矢的真法。
古代历家用直钱测圆形，叫做弧矢法，而计算用径一围三，就错了。
现在的立割圆八线表，用法简便而用处大。
弧矢等线，只乘除一次，就能得到。
七是球面三角三弧形，不是勾股可以完全算出来的。
古法测天以勾股焉根本，然而勾股只能解决直角，不能解决斜角。
而且天是圆球，球面上与各道相切割产生的三弧形，勾股不能够完全解决它。
论述恒星有四则：一是恒星本行，即所说的岁差，从黄道极算起。
各星离赤极的度分，古今不同。
距离赤道内外，也古今不同。
而距黄极或距黄道内外，却是从古以来一样，所以知道日月五星都沿着黄道运行。
恒星的本行，应该从黄遒极起算，作为岁差的比率。
二是古今各宿的度数不同。
恒星以黄道极为极，所以各宿距星的运行度数，与赤道极时近时速。
运行逐渐接近赤道极，即从赤道发出的遇距星的线逐渐变密，本宿的赤道弧就较小。
逐渐远离赤极，经过距星的线就逐渐稀疏，本宿的赤道弧就较大。
这是因为黄道赤道黄极赤极不同，不是距星有不同的运行，也不是距星移动了位置。
如觜宿距星，漠测距参宿二度，唐测一度，宋崇宁年问测半度，元郭守敬测五分。
现在测量，不但没有一分，反而侵入参宿二十四分，不是一个证据吗？三是夜半测星定时。
太阳沿赤道左行，每十五度为一小时。
现在任意测量一颗星距子午圈前后的度分，又用本星经行和太阳经行相加减，得太阳距子午圈的度分，通过它变为真时刻。
四是宋时所定的十二宫次在某宿度，现在不能定在某宿度。
这是因为恒星有本行，宿度已经右移的缘故。
关于太阳的论述有四条：，一是太阳盈缩的极限，不是冬、夏二至，就是人们所说的最高及最高冲。
这个极限年年向右移动，现在已超过了二至后六度多。
二是用圭表测量冬夏二至，不是好的办法。
在二至前后，太阳南北的运行度数很少，一丈长的圭表，一天的日影的差异不过一分三十秒，则一秒的长度就管六刻多的时间。
如果测量误差二三秒，时间就将近二十刻，怎么能准确呢？现在的办法只用春、秋二分，因为这时太阳一天南北运行二十四分，一天的日影差异有一寸二分，即使测量误差一二秒，折算时间也不满一刻，比二至更精密。
三是太阳起落的分数，应该从顺天府起算。
因各方纬度不同，早晨黄昏的时刻也因此有差异。
大统历依照应天府推算，所以昼夜长短，日月东西方位和是否带食，推算的都不准确。
现在依照顺天府改定。
四是平节气不是天时的真节气。
旧历法一气的长度，是一年长度的二十四分之一。
然而太阳的运行，有快右慢，不能平分。
如果平分，那么春分就比天象晚两天，秋分就比天象早两天了。
现在全都改正。
关于月亮的论述有四条：一是朔望之外，另外还有损益分，一次加碱不足以完全平衡。
旧历法确定月亮匀速运行，推算朔望的加减数，大致五度多，然而上弦和下弦时多少不一，即使是授时历也说朔望之外，匀速运行的度数不一定，明白了这个道理，但是没有写进历法。
现在在加减之外，再使用一次加减，取名叫二三均数。
二是黄白二道的相距度不能确定焉五度，而是时多时少。
古今历家根据交食的分数及交泛等，测定黄道白道相距大约五度。
然而朔望日之外雨道的相距度数，有增有碱，最大距离达到五又三分之一度。
如果一个月有两次交食，在上下弦时用仪表求距离黄道的度数焉五度，就不能与天象相合。
三是交行有损益分。
罗喉、计都即正交、中交的行度，古今都定为匀速运行。
现在仔细测量，月亮有时在交点之上，用匀速去推求，必然与计算不合。
因此再设置一次加减，成为交行的均数。
四是天象没有紫气。
旧历法认为是从闰余中产生，又认为是木星的余气。
现在仔细考察各星，没有天象可以说明，可知这是毫无根据地增加的。
关于交食的论述有四条：一是日月影像的直径大小总是不一样的。
因为日月有时运行得最高，有时运行的最低，因为相距有速有近，所见到的就有大有小。
又因速的时候和近的时候看到月亮反射的光线，有强有弱，所以月亮影像的直径大小不会一样。
二是日食正午不是中限，而应以黄道九十度限为中限。
南北东西差都是依据黄道，那么时差又怎能不依据黄道来论定它的初段末段以推求中限呢？况且黄道在地平之上的部分，两个象限自有它的高处，也自有它的中限。
这个道理不明白，有时该加的反而减，该碱的反而加，凡是加时不合的都是由此产生的。
三是日食的初亏和复圆，时刻多少总是不一样的，不是两段时间各折一半的那种说法。
视觉的误差能把实际运行变为枧运行，那么用视差来比较食甚的前后，没有不出差错的。
根据视差既然食甚前后木一，又怎么能使枧运行前后相等呢？现在用视运行来推算时刻，初亏和复圆不能相等就明确了。
四是各方各自依照当地的经度推算日食的时刻及日食的分数。
地面上东方和西方看见日月的出没，各有先后不同，那么得到的时刻也不相同。
所以看到交食虽然是一个但时刻不同，这一点日食和月食都是一个道理。
如果是日食则因为视差各地不同，月食则因为看的距离不同，所见到的交食分数也就有差异。
关于五星的论述有三条：一是五星应根据太阳的视运行，而不能根据段目来确定。
因为五星都是以太阳为中心，与太阳合就前行得快。
与太阳冲就退行。
而且太阳的运行有快慢，这样五星的合伏日数，时多时少，自然不能根据段目来确定它的度分。
二是五星应增加纬度运行度数。
因五星出入黄道，各有一定的相距度。
又木、土、火三星与太阳相冲纬度大，与太阳相合纬度小。
金、水二星顺伏纬度小，逆伏纬度大。
三是观测五星，应当用恒星作为标准。
测量五星除使用黄道仪外，还应使用弧矢等仪器。
根据测到的某星距离两颗恒星的多少度分，依据有关方法计算，纔能得到这颗星的真经纬度分。
有时绘图也可以免于计算。
这时新历法书籍仪器都已完备，多次预测日月交食五星冲犯都密切相合，但魏文魁等想方设法阻挠，实际上是宦官在指使。
因此皇帝不能决断，下谕叫李天经和钦天监历局虚心地详加研究，一定要求得到统一。
这年，李天经推算水星隐现及木星所在的度数，都与大统历各不相同，而新历法与天象相合。
又推算八月二十七日寅时后段二刻，木星、火星、月亮三曜同在张宿六度，而大统历推算木星在张宿四度，火星、月亮在张宿三度。
到时，果然同在张宿六度。
九年正月十五日辛酉，望日早上月食。
李天经及大统历、回回历、束局，各自预先推算初亏复圆食甚的时刻和食分。
李天经怕到时被云掩盖难以见到，就根据地面距离的差距，推算河南、山西所见到的时刻，上奏派官员分别测量验证。
到了那一天，李天经与罗雅谷、汤若塱、大理评事王应遴、礼官李焰及钦天监、历局守登、魏文魁等到观象台观测骏证，只有李天经所推算的与天象相合。
不久，河南的报告也完全与原来的推算相合，山玺因月食时被云掩盖无从验证。
皇帝认为测算月食，新历法最接近天象，只是十五日雨水，而李天经定十三日为雨水，命令他再上奏说明。
李天经答复说：讨论节气有两种办法：一是平节气，一是定节气。
平节气，将一年的长度，平分为二十四份，每份得十五日多，就是一个节气。
所以从前一年的冬至开始算起，宁定要遇六十日八十七刻多纔是雨水。
旧历法推算的十五日子时后段二刻就是这样。
定节气，以三百六十为周天的度数，也平分为二十四份，每份得十五度为一个节气。
从前一年的冬至开始算起，经过五十九日二刻多，而太阳运行满六十度就是雨水。
新历法所推算的十三日卯时前段二刻八分就是这样。
太阳的运行有快有慢，不设法加减，一定与天象不合，怎么能平分一年长度作为节气呢？用春分来验证，道理更加明白。
分，是黄道和赤道的交点，太阳运行到这里，就昼夜平分。
旧历法在二月十四日之下，注明白画五十刻、夜晚五十刻就是这样。
十四日昼夜已经平分，那么新历法推算十四日为春分符合天象，而旧历法推定为十六日，已落后天象二日了。
知道了春分，那秋分和各节气就可知了，而对于雨水就没有疑问了。
后来李天经在春分将到时，每天中午到观象台测量正午时太阳的高度。
二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十三分。
李天经于是说：京城的北极出地高度是三十九度五十五分，那么赤道的出地高度应是五十度五分，春分日太阳正在赤道上，太阳正午的高度与赤道的高度相等，过了这一位置太阳的高度必然逐渐增高。
现在将十四日所测到的太阳高度，加上地半径差二分，比赤道高度已多五分。
逭大概是因为原来推算的春分在卯时后段二刻五分弱，这时每天纬行度二十四分弱，时差二十一刻五分，那么纬行度应加五分强。
到十五日，加上地半径差比乔道高度已多达三十分，何况十六日呢？所以春分应当在十四日，而不应当在十六日。
秋分也是这样。
又上呈节气图，说：内规分三百六十五又四分之一度，是太阳运行的度数。
外规分三百六十度，是周天的度数。
从冬至算起，经过九十一日三十一刻六分，纔到达春分，这是受太阳运行度数的限制，而在周天的度数，已超过二度多了。
又经过二百七十三日九十三刻一十九分，而和秋分点相交，也是受太阳运行度数的限制，而在周天度数还差二度多。
难道不是旧历法春分每次比天象落后两天，秋分比天象提前两天的原因吗？十年正月辛丑朔日，发生日食，李天经等预测京城见食一分十秒，应天及各省分秒各不相同，只有云南、太原看不到日食。
日食的初亏、食甚、复圆时刻也各不相同。
大统历推算食分一分六十三秒，回回历推算食分三分七十秒，柬局推算只有游动的云气侵扰日光三十多秒。
而到发生日食时检验，只有李天经的推算最精确。
当时将要废除大统历，使用新历法，这时管理其它历局事务的代州知州郭正中进言说：“中国历法一定不要完全废弃，西洋历法一定不要独家实行。
四种历法各有长短，应当综合各家，兼用西法。”十一年正月，皇帝就下诏仍然使用大统历，至于交食的经纬度，晦朔弦望，因历法年代长了有差错的，另外考求和参考新历法与回回历，几种说法并存。
这一年，进升李天经焉光禄寺卿，仍然管理层法事务。
十四年十二月，李天经进言说：“大统历设置闰月，只要求月中没有中气，新历法尤其重视合朔的先后。
现在所进献的十五年新历，其中十月、十二月的中气，正好在次月合朔时刻之前，所以月内虽然没有中气，而实际上并不是闰月。
大致气在朔日之前，则此气还属于上一月的晦日。
到十六年第二个月只有惊螯一个节气，而中气春分，在第三个月合朔之后纔到来，那么第二个月是闰正月，第三个月是二月，是没有疑问的。”当时皇帝已深知西洋历法的精密。
到十六年三月乙丑朔日日食，又惟独用西洋历法预测应验天象。
八月，皇帝下诏说西洋历法确实精密，马上改名焉大统历法，通行天下。
不久国家发生变故，最终没有施行。
本朝用的是时宪历。
按照明朝的制度，历官都是世代相传作为职业，成化、弘治年间还能够提出修改的建议，万历以后就都是专用己说、抱残守缺而已。
那些不是历官而懂历法的，除郑世子之外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗都有著述。
唐顺之的著述没有成书，他的论述散见于周述里的历宗通议、历宗中经。
袁黄着有历法新书，其中天地人三元，则是来源于陈壤，而雷宗也着有合璧连珠历法。
这些人都是融会回回历以纳入授时历，虽然不能像郑世子那样精深细致，他们对于中公历法的原理，都有所创新阐发。
邢云路古今律历考，有人说本出自魏文魁之手。
魏文魁学识本来肤浅，难怪他所注释的授时历，都不合原书的旨意。
西洋人来到中国的，都自称瓯罗巴人，他们的历法和回回历相同，而更加精密。
曾经考察前代，远方国家谈历法的人多在西域，而东方、南方、北方没有听说遇。
唐代的九执历、丞盐的万年历，以及湛亟年间所译的回回历，都是西域的历法。
大概尧命令羲仲、羲叔、和仲、和叔分居四方，羲仲、羲叔、和叔就以蝎夷、南交、朔方为界限，惟独和仲祇说了“住在西方”而没有限制地点，难道不是当时的声威教化向西影响得很远吗。
到了周代末期，历官子弟四处分散。
西域、天方各国，和中原西部接壤，又不像东南有大海阻隔，又没有北方严寒的威胁，他们抱着书籍仪器而西去，从情势上讲确实是很方便的。
瓯罗巴在回回的西面，他们的风俗和回回相似，而喜好新奇、争强好胜的习俗超过了回回。
所以他们的历法与回回同源，而代代增修，于是不是回回所能赶得上的了，这也是争强好胜的习俗造成的。
羲、相失去他们的职守以后，现在还能见到的古籍，只有周髀。
而西方人天文仪器，寒热五带的学说，地为圆球的道理，几何学的方法，都没有超出周髀的范围，由此也可以知道西洋历法的由来了。
四处搜索广博采纳，用以继续千百年来已失落的头绪，也是礼仪失落后到僻野之地求索的意思，所以详细地论述。